دانلود اپلیکیشن
مثال 2: حاصل \((\sqrt {12} + \sqrt {27} - \sqrt {48} ) \div \sqrt 3 \) را به دست آورید.
\(\sqrt {12} + \sqrt {27} - \sqrt {48} = 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 4\sqrt 3 = \sqrt 3 \)
بنابراین حاصل تقسیم برابر 1 است. (چرا؟)
دلیل اینکه پاسخ در نهایت برابر با ۱ می‌شود، از قوانین پایه‌ای جبر و رادیکال‌ها پیروی می‌کند. این حل دو بخش اصلی دارد که قدم‌به‌قدم آن «چرا» را توضیح می‌دهم:
گام اول: ساده‌سازی و جمع و تفریق رادیکال‌ها
همان‌طور که در راه‌حل اشاره شده است، برای جمع و تفریق رادیکال‌ها، باید قسمت زیر رادیکال‌ها با هم برابر (متشابه) باشند. برای این کار، اعداد زیر رادیکال را به صورت حاصل‌ضرب یک «مربع کامل» (مثل ۴، ۹، ۱۶) در عدد ۳ می‌نویسیم تا بتوانیم جذر مربع کامل را بیرون بیاوریم:
رادیکال 12:
\(\sqrt {12} = \sqrt {4 \times 3} = \sqrt 4 \times \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \)
رادیکال 27:
\(\sqrt {27} = \sqrt {9 \times 3} = \sqrt 9 \times \sqrt 3 = 3\sqrt 3 \)
رادیکال 48:
\(\sqrt {48} = \sqrt {16 \times 3} = \sqrt {16} \times \sqrt 3 = 4\sqrt 3 \)
حالا چون قسمت رادیکالی همه آن‌ها \((\sqrt 3 )\) یکسان است، می‌توانیم مثل متغیرهای جبری (مثلاً 2x+3x-4x) فقط ضرایب آن‌ها را با هم جمع و تفریق کنیم:
\(2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 4\sqrt 3 = (2 + 3 - 4)\sqrt 3 = 1\sqrt 3 = \sqrt 3 \)
گام دوم: دلیل نهایی شدن پاسخ به عدد ۱ (چرا؟)
صورت مسئله از ما خواسته است که حاصل داخل پرانتز را بر \(\sqrt 3 \) تقسیم کنیم. ما حاصل داخل پرانتز را محاسبه کردیم و دیدیم که دقیقاً برابر با \(\sqrt 3 \) شد. بنابراین، حالا باید این مقدار را بر \(\sqrt 3 \) تقسیم کنیم:
\(\sqrt 3 \div \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)
در ریاضیات دو دلیل ساده برای اینکه جواب این کسر ۱ می‌شود وجود دارد:
1 قاعده کلی تقسیم: تقسیم هر عدد (غیر صفر) بر خودش، همیشه برابر با ۱ است.
2 قوانین رادیکال‌ها: در تقسیم دو رادیکال با فرجه برابر، می‌توانیم اعداد زیر رادیکال را بر هم تقسیم کنیم و حاصل را زیر یک رادیکال بنویسیم:
\(\sqrt 3 \div \sqrt 3 = \sqrt {\frac{3}{3}} = \sqrt {\,\,1\,\,} = 1\)
به همین دلیل است که حاصل نهایی این عبارت دقیقاً عدد ۱ می‌شود.
1736019749.png)
