جواب سوال متن صفحه 74 درس 4 ریاضی نهم (توان و ریشه)

دلیل اینکه پاسخ در نهایت برابر با ۱ می‌شود، از قوانین پایه‌ای جبر و رادیکال‌ها پیروی می‌کند. این حل دو بخش اصلی دارد که قدم‌به‌قدم آن «چرا» را توضیح می‌دهم:

گام اول: ساده‌سازی و جمع و تفریق رادیکال‌ها

همان‌طور که در راه‌حل اشاره شده است، برای جمع و تفریق رادیکال‌ها، باید قسمت زیر رادیکال‌ها با هم برابر (متشابه) باشند. برای این کار، اعداد زیر رادیکال را به صورت حاصل‌ضرب یک «مربع کامل» (مثل ۴، ۹، ۱۶) در عدد ۳ می‌نویسیم تا بتوانیم جذر مربع کامل را بیرون بیاوریم:

رادیکال 12:

\(\sqrt {12} = \sqrt {4 \times 3} = \sqrt 4 \times \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \)

رادیکال 27:

\(\sqrt {27} = \sqrt {9 \times 3} = \sqrt 9 \times \sqrt 3 = 3\sqrt 3 \)

رادیکال 48:

\(\sqrt {48} = \sqrt {16 \times 3} = \sqrt {16} \times \sqrt 3 = 4\sqrt 3 \)

حالا چون قسمت رادیکالی همه آن‌ها \((\sqrt 3 )\)  یکسان است، می‌توانیم مثل متغیرهای جبری (مثلاً 2x+3x-4x) فقط ضرایب آن‌ها را با هم جمع و تفریق کنیم:

\(2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 4\sqrt 3 = (2 + 3 - 4)\sqrt 3 = 1\sqrt 3 = \sqrt 3 \)

گام دوم: دلیل نهایی شدن پاسخ به عدد ۱ (چرا؟)

صورت مسئله از ما خواسته است که حاصل داخل پرانتز را بر \(\sqrt 3 \) تقسیم کنیم. ما حاصل داخل پرانتز را محاسبه کردیم و دیدیم که  دقیقاً برابر با \(\sqrt 3 \)  شد. بنابراین، حالا باید این مقدار را بر \(\sqrt 3 \)  تقسیم کنیم:

\(\sqrt 3 \div \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)

در ریاضیات دو دلیل ساده برای اینکه جواب این کسر ۱ می‌شود وجود دارد:

1 قاعده کلی تقسیم: تقسیم هر عدد (غیر صفر) بر خودش، همیشه برابر با ۱ است.

2 قوانین رادیکال‌ها: در تقسیم دو رادیکال با فرجه برابر، می‌توانیم اعداد زیر رادیکال را بر هم تقسیم کنیم و حاصل را زیر یک رادیکال بنویسیم:

\(\sqrt 3 \div \sqrt 3 = \sqrt {\frac{3}{3}} = \sqrt {\,\,1\,\,} = 1\)

به همین دلیل است که حاصل نهایی این عبارت دقیقاً عدد ۱ می‌شود.