جواب تمرین صفحه 40 درس 2 ریاضی یازدهم تجربی (هندسه)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AH \cdot BC\\\\{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AB \cdot AC\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \times AH \cdot BC = \frac{1}{2} \times AB \cdot AC\\\\ \Rightarrow AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\end{array}\)

الف

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{10 + a}} = \frac{b}{{8 + b}}\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{10 + a - a}} = \frac{b}{{8 + b - b}}\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{10}} = \frac{b}{8} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{10}}{8}\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\frac{{3a + 10}}{{10 + 2a}} = \frac{{3b + 7}}{{7 + 2b}}\\\\ \Rightarrow \frac{{3a + 10 - \left( {10 + 2a} \right)}}{{10 + 2a}} = \frac{{3b + 7 - \left( {7 + 2b} \right)}}{{7 + 2b}}\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{10 + 2a}} = \frac{b}{{7 + 2b}}\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{10 + 2a - 2a}} = \frac{b}{{7 + 2b - 2b}}\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{10}} = \frac{b}{7} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{10}}{7}\end{array}\)

عکس قضیه تالس

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}AD = DB \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = 1\\\end{array}\\{AE = EC \Rightarrow \frac{{AE}}{{EC}} = 1}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow DE\parallel BC\end{array}\)

تعمیم قضیه تالس

\(\begin{array}{l}DE\parallel BC\quad \Rightarrow \quad \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\\\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop \Rightarrow \limits_{AC = 2AE}^{AB = 2AD} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC\end{array}\)

\(\begin{array}{l}PQ\parallel BC:\\\\\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{{AQ}}{{QC}} \Rightarrow \frac{{AP}}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow AP = 4\\\\\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{{PQ}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{PQ}}{9} = \frac{2}{5} \Rightarrow PQ = \frac{{18}}{5}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}ST\parallel BC:\\\\\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{AT}}{{TC}} \Rightarrow \frac{8}{4} = \frac{{3y + 3}}{6}\\\\ \Rightarrow 2 = \frac{{y + 1}}{2} \Rightarrow y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3\\\\\frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{ST}}{{BC}} \Rightarrow \frac{8}{{12}} = \frac{6}{{4x + 1}}\\\\ \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{6}{{4x + 1}} \Rightarrow 8x + 2 = 18 \Rightarrow x = 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A\mathop C\limits^\Delta D:\quad SE\parallel DC \Rightarrow \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{AE}}{{EC}}\\\\A\mathop B\limits^\Delta C:\quad TE\parallel AB \Rightarrow \frac{{BT}}{{TC}} = \frac{{AE}}{{EC}}\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{BT}}{{TC}}\end{array}\)

الف

اگر در مثلثی سه زاویه مساوی باشند، آنگاه سه ضلع نیز با هم برابر خواهند بود.

ب

اگر در یک چهار ضلعی زوایای مقابل با هم برابر باشند، در این صورت اضلاع مقابل موازی هستند.

پ

اگر زوایای مقابل یک چهار ضلعی مکمل یکدیگر باشند، در این صورت رأس های چهارضلعی روی یک دایره قرار دارند.

ت

در مثلث ABC ، اگر AB>AC آنگاه CH<CH’

به عبارتی: AB>AC

خط d و نقطه A خارج آن را در نظر می گیریم. از نقطه A، عمود AH را رسم می کنیم. با استفاده از برهان خلف فرض می کنیم که از نقطه A می توانیم خط دیگری مانند AH’ را بر خط d عمود کنیم (فرض خلف). بنابراین در مثلث AHH’ ، \(\hat H = \hat H' = {90^ \circ }\) ؛ ولی با توجه به اینکه مجموع زوایای داخلی هر مثلث 180 درجه است، به تناقض می رسیم. پس از ابتدا فرض غلط بودن حکم نادرست بوده است و حکم نمی تواند غلط باشد. به عبارت دیگر فرض خلف باطل است و حکم مسئله اثبات می شود.

الف

عدد 131 اول است و بزرگتر از 127 می باشد. پس این حکم کلی با این مثال نقض، رد می شود.

ب

مساحت مربع شکل مقابل، \({a^2}\) می باشد، اما مساحت مثلث قائم الزاویه رنگی \(\frac{{{a^2}}}{2}\) است.

\(\frac{{{a^2}}}{2} < {a^2}\)، پس با این مثال نقض، حکم کلی رد می شود.

پ

در مثلث قائم الزاویه، ارتفاع با طول ضلع مثلث برابر است. با این مثال نقض، این حکم کلی رد می شود.

ت

در مثلث ABC شکل مقابل خط AB و CM میانه ضلع AB است ولی بر هم منطبق نیستند.