شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 درشکل مقابل BC||DE.
اندازۀ پاره خط های DE و CA را به دست آورید.
خطوط BC و ED موازی هستند و خطوط مورّب آن ها، BD و CE می باشند:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC\parallel ED\,\not |\,BD \Rightarrow \hat B = \hat D\\\\BC\parallel ED\,\not |\,CE \Rightarrow \hat C = \hat E\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \sim A\mathop D\limits^\Delta E\\\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{DE}}\\\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{18}} = \frac{{33}}{{22}} = \frac{{21}}{{DE}}\\\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{18}} = \frac{{33}}{{22}} \Rightarrow AC = 27\\\end{array}\\{\frac{{21}}{{DE}} = \frac{{33}}{{22}} \Rightarrow DE = 14}\end{array}} \right.\end{array}\)
2 اگر نقاط P و N و M مطابق شکل وسط های اضلاع مثلث ABC باشند، ثابت کنید. مثلث های ABC و MNP متشابه اند.
حل:
الف MN||BC و NP||AB و MP||AC چرا؟
ب بنابراین \({\widehat M_1} = {\widehat P_2} = \widehat C\) و \({\widehat N_1} = {\widehat P_3} = \widehat B\) (چرا؟)
از (ب) دربارهٔ مثلث های مورد نظر چه نتیجه ای می توان گرفت؟
الف
قبلا ثابت کردیم که هرگاه پاره خطی وسط دو ضلع مثلث را به هم وصل کند، با ضلع سوم موازی و نصف آن است.
ب
بنابر قضیه خطوط موازی داریم:
\(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel BC\,\not |\,NP \Rightarrow {{\hat N}_1} = {{\hat P}_3}\\\\MN\parallel BC\\\\MN\parallel NP\end{array} \right.\)
با این ویژگی ها، چهارضلعی MNPB متوازی الاضلاع می باشد؛ در نتیجه:
\(\begin{array}{l}{{\hat N}_1} = \hat B \Rightarrow {{\hat N}_1} = \hat B = {{\hat P}_3}\\\\\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel BC\,\not |\,MP \Rightarrow {{\hat M}_1} = {{\hat P}_2}\\\\MN\parallel PC\\\\MN\parallel NC\end{array} \right.\end{array}\)
با این ویژگی ها، چهارضلعی MNCP نیز متوازی الاضلاع می باشد؛ در نتیجه:
\({\hat M_1} = \hat C \Rightarrow {\hat M_1} = \hat C = {\hat P_2}\)
ج
\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\hat N}_1} = \hat B}\\{}\\{{{\hat M}_1} = \hat C}\end{array}} \right\} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C\sim M\mathop N\limits^\Delta P\)
3 اگر سه مثلث ABC و \(A'B'C'\) و \(A''B''C''\) به گونه ای باشند که \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop B\limits^\Delta 'C'\) و \(A'\mathop B\limits^\Delta 'C'\sim A''\mathop B\limits^\Delta ''C''\) دربارۀ دو مثلث ABC و \(A''B''C''\) چه می توان گفت؟ چرا؟
اگر \(A\mathop B\limits^\Delta C\sim A'\mathop B\limits^\Delta 'C'\) پس بنا به تعریف تشابه دو مثلث زوایای نظیر با هم برابرند:
\(\left\{ \begin{array}{l}\hat A = \hat A'\\\\\hat B = \hat B'\\\\\hat C = \hat C'\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
اگر \(A'\mathop B\limits^\Delta 'C'\sim A''\mathop B\limits^\Delta ''C''\) پس بنا به تعریف تشابه دو مثلث زوایای نظیر با هم برابرند:
\(\left\{ \begin{array}{l}\hat A' = \hat A''\\\\\hat B' = \hat B''\\\\\hat C' = \hat C''\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)
1736019749.png)
