شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
با توجه به قضیهٔ فیثاغورس اگر زاویهٔ A از مثلثی مانند ABC، قائمه باشد، آنگاه \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).
الف عکس این قضیه را بنویسید.
ب با انجام مراحل زیر نتیجه بگیرید که عکس قضیهٔ فیثاغورس نیز درست است.
الف
اگر در مثلث ABC، \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) آنگاه مثلث در رأس A قائمه است.
1 فرض کنیم مثلث ABC داده شده است و رابطهٔ \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) بین اندازهٔ اضلاع آن برقرار است.
2 پاره خط های \(A'B'\) و \(A'C'\) را مطابق شکل مقابل به گونه ای درنظر بگیرید که \(A'=90°\) و \(A'C'=AC\) و \(A'B'=AB\) است.
3 با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث 'A'B'C، اندازه پاره خط 'B'C را به دست آورید و ثابت کنید B'C'=BC.
\(\begin{array}{l}B'{{C'}^2} = A'{{C'}^2} + A'{{B'}^2}\\\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop \Rightarrow \limits_{A'C' = b}^{A'B' = c} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B'{{C'}^2} = {b^2} + {c^2}\\\\{a^2} = {b^2} + {c^2}\\\\ \Rightarrow B'{{C'}^2} = {a^2} \Rightarrow B'C' = a\\\\ \Rightarrow B'C' = BC\end{array}\)
4 توضیح دهید چرا \(A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop B\limits^\Delta 'C'\) و نتیجه بگیرید A=90°.
\(\begin{array}{l}\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{A'B' = AB}\\{}\\{A'C' = AC}\\{}\\{B'C' = BC}\end{array}} \right\} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\\\\ \Rightarrow \hat A = \hat A' = {90^\circ }\end{array}\)
ج قضیه فیثاغورس و عکس آن را به صورت یک قضیهٔ دو شرطی بیان کنید.
فرض کنیم ABC یک مثلث باشد:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow \hat A = {90^\circ }\)
مثلثی قائم الزاویه است اگر و تنها اگر مربع یک ضلع برابر با مجموع مربع های دو ضلع دیگر باشد.
1736019749.png)
