شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
فرض کنید مانند شکل مقابل پاره خط DE موازی ضلع BC باشد.
می خواهیم نشان دهیم: \(\frac{{AD}}{{DE}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)
1 از نقطهٔ D به C و از E به B وصل کنید. مساحت های مثلث های DEC و DEB که آنها را با SDEC و SDEB نشان می دهیم، باه هم برابرند چرا؟
ارتفاع های نظیر قاعده DE را در دو مثلث DEC و DEBرسم می کنیم. با توجه به شکل می دانیم که فاصله بین دو خط موازی مقداری ثابت است. پس طول ارتفاع ها با هم برابرند:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_{DEC}} = \frac{1}{2}h \cdot DE}\\{{S_{DEB}} = \frac{1}{2}h \cdot DE}\end{array}} \right\} \Rightarrow {S_{DEC}} = {S_{DEB}}\)
2 از نقطۀ E به ضلع AB عمود کنید و پای عمود را H1 بنامید.سپس از D به ضلع AC عمود کنید و پای عمود را H2 بنامید.
3
\(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DEB}}}} = \frac{{\frac{1}{2}E{H_1} \times AD}}{{\frac{1}{2}E{H_1} \times DB}} = \frac{{AD}}{{DB}}\)
4
\(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DEB}}}} = \frac{{\frac{1}{2}D{H_2} \times AE}}{{\frac{1}{2}D{H_2} \times EC}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)
5 از (1) و (3) و (4) نتیجه می شود \(\frac{{AD}}{{DE}} = \frac{{AE}}{{EC}}\). چرا؟
\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DEB}}}} = \frac{{AD}}{{DB}}\\\end{array}\\{\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DEC}}}} = \frac{{AE}}{{EC}}}\end{array}} \right\}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop \Rightarrow \limits^{{S_{DEC}} = {S_{DEB}}} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left. {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DEB}}}} = \frac{{AD}}{{DB}}\\\end{array}\\{\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DEB}}}} = \frac{{AE}}{{EC}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)
1736019749.png)
