جواب تمرین صفحه 57 درس 2 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی (الگوهای خطی)

الف

\(\begin{array}{l}f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1/419\:x\;\;\:,\;\;\:0 \le x < 5}\\{2/123\:x\;\;\:,\;\;\:5 \le x < 10}\\{2/827\:x\;\;\:,\;\;\:10 \le x < 15}\\{3/703\:x\;\;\:,\;\;\:15 \le x < 20}\\{5/400x\;\;\:,\;\;\:20 \le x < 25}\\{8/496\:x\;\;\:,\;\;\:25 \le x < 30}\\{11/850\:x\;\;\:,\;\;\:30 \le x < 35}\\{15/444\:x\;\;\:,\;\;\:35 \le x < 40}\\{33/462\:x\;\;\:,\;\;\:40 \le x < 50}\\{66/924\:x\;\;\:,\;\;\:50 \le x}\end{array}} \right.\\\\\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{D_f} = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ge 0} \right\}\\\end{array}\\{{R_f} = \left\{ {y \in \mathbb{R}|y \ge 0} \right\}}\end{array}\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}f(x) = 5/400\:x\;\;\:,\;\;\:20 \le x < 25\;\;\:\\\\ \Rightarrow \;\;\:f(20/49) = 5/400\: \times 20/49 = 110/646\end{array}\)

110/646 ریال

الف کاهش دمای هوا با دور شدن از سطح زمین تا ارتفاع 15 کیلومتر   R

ب میزان استفادهٔ دانش آموزان یک مدرسه از اینترنت در هر ساعت    N

ج حجم مکعبی به ضلع  R

د تغییرات سطح دریاچهٔ ارومیه در بیست سال اخیر   R

هـ میزان مصرف ماهیانهٔ آب در یک واحد مسکونی   R

الف f(1)=0/5 درصد استفاده از اینترنت در سال اول و f(7)=9 درصد استفاده از اینترنت در سال هفتم را نشان می دهد.

ب 

 شیب خط:

\(m = \frac{{45 - 15}}{{2015 - 2005}} = \frac{{30}}{{10}} = 3\)

 عرض از مبدأ:

 \(h = {y_0} - m{t_0} = 15 - 3(2005) = 15 - 6015 = - 6000\)

معادله خط:

\(y = mt + h \to y = 3t - 6000\)

ضابطه خطی تابع:

\(f(t) = 3t - 6000\)

 درصد استفاده از اینترنت در سال 2020

\(f(2020) = 3(2020) - 6000 = 6060 - 6000 = 60\)

الف 

ب 

\(\begin{array}{l}{a_n} = 4n - 1\quad ,\quad n \in \mathbb{N}\\\\\left\{ \begin{array}{l}{a_{n + 1}} = {a_n} + 4\\{a_1} = 3\end{array} \right.\end{array}\)

شیب خط برابر 4 می باشد. به طور کلی: (m شیب خط)

الف

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{a_2} = {3^2} = 9\\\end{array}\\\\{{b_1} = {{( - \frac{1}{2})}^{1 + 1}} = \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\)

ب

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{a_2} = {3^2} = 9\\\end{array}\\\\{{b_1} = {{( - \frac{1}{2})}^{1 + 1}} = \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\)

ج

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{b_4} = {( - \frac{1}{2})^{4 + 1}} = - \frac{1}{{32}}\\\end{array}\\\\{{d_2} = {2^2} - 1 = 3}\end{array}} \right.\)

الف 

\(\begin{array}{l}{a_1} = - \:2\;,\;{a_2} = - \:\frac{2}{3}\;,\;{a_3} = - \:\frac{2}{9}\;,\\\\{a_4} = - \:\frac{2}{{27}}\;,\;{a_5} = - \:\frac{2}{{81}}\end{array}\)

ب  

\({a_1} = 1\;,\;{a_2} = \frac{1}{2}\;,\;{a_3} = \frac{2}{3}\;,\;{a_4} = \frac{3}{5}\;,\;{a_5} = \frac{5}{8}\)

ج  

\({a_1} = 1\;,\;{a_2} = 1\;,\;\:{a_3} = 1\;,\;{a_4} = 3\;,\;{a_5} = 5\)

د  

\({a_1} = 1\;,\;{a_2} = 0\:,\;{a_3} = 1\;,\;{a_4} = 0\;,\;{a_5} = 0\)

الف \({a_1} = 11\;,\;34\;,\;17\;,\;52\;,\;26\;,\;79\)

ب \({a_1} = 25\;,\;76\;,\;38\;,\;115\;,\;\frac{{115}}{2}\;,\;\frac{{123}}{2}\)

الف \({a_n}:\;\frac{5}{2}\;\;,\;\;2\;\;,\;\;\frac{3}{2}\;\;,\;\;1\;\;,\;\;\frac{1}{2}\)

ب \({a_n}:\; - \:\frac{1}{2}\;\;,\;\;\frac{1}{4}\;\;,\;\; - \:\frac{1}{8}\;\;,\;\;\frac{1}{{16}}\;\;,\;\; - \:\frac{1}{{32}}\)

ج \({a_n}:\;\;2\;\;,\;\;\frac{1}{2}\;\;,\;\;2\;\;,\;\;\frac{1}{2}\;\;,\;\;2\)

د \({a_n}:\;\;1\;\;,\;\;1\;\;,\;\;\frac{1}{3}\;\;,\;\;1\;\;,\;\;\frac{1}{5}\)

الف 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_{n + 1}} = \frac{1}{2}({a_n} + \frac{2}{{{a_n}}})\;\;\:;\;\;\:{a_1} = 2\\\\{a_2} = \frac{1}{2}({a_1} + \frac{2}{{{a_1}}}) = \frac{1}{2}(2 + \frac{2}{2}) = \frac{3}{2}\\\\{a_3} = \frac{1}{2}({a_2} + \frac{2}{{{a_2}}}) = \frac{1}{2}(\frac{3}{2} + \frac{2}{{\frac{3}{2}}})\\\\ = \frac{1}{2}(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{{17}}{6} = \frac{7}{{12}} \simeq 1/416\end{array}\)

ب 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_{n + 1}} = \frac{1}{2}({a_n} + \frac{3}{{{a_n}}})\;\;\:;\;\;\:{a_1} = 3\\\\{a_2} = \frac{1}{2}({a_1} + \frac{3}{{{a_1}}}) = \frac{1}{2}(3 + \frac{3}{3}) = \frac{1}{2}(3 + 1) = 2\\\\{a_3} = \frac{1}{2}({a_2} + \frac{3}{{{a_2}}}) = \frac{1}{2}(2 + \frac{3}{2})\\\\ = \frac{1}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{4} \simeq 1/75\end{array}\)

ج 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_{n + 1}} = \frac{1}{2}({a_n} + \frac{5}{{{a_n}}})\;\;\:;\;\;\:{a_1} = 5\\\\{a_2} = \frac{1}{2}({a_1} + \frac{5}{{{a_1}}}) = \frac{1}{2}(5 + \frac{5}{5}) = \frac{1}{2}(5 + 1) = 3\\\\{a_3} = \frac{1}{2}({a_2} + \frac{5}{{{a_2}}}) = \frac{1}{2}(3 + \frac{5}{3})\\\\ = \frac{1}{2} \times \frac{{14}}{3} = \frac{{14}}{6} = \frac{7}{3} \simeq 2/33\end{array}\)

مزیت این روش این است که در صورت عدم دسترسی به ماشین حساب، می توان به راحتی محاسبه مقدار تقریبی ریشه دوم اعداد طبیعی را تعیین کرد.

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{a_{n + 1}} = {a_n} + (n + 1)\;\;\:,\;\;\:{a_1} = 1\;\;\:\\\\ \Rightarrow \;\;\:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_1} = 1}\\{n = 1 \to {a_2} = {a_1} + (1 + 1) = 1 + 2 = 3}\\{n = 2 \to {a_3} = {a_2} + (2 + 1) = 3 + 3 = 6}\end{array}} \right.\end{array}\\{}\\{{a_n}:\;\:1\;\:,\;\:3\;\:,\;\:6\;\;,\;\: \cdots }\end{array}\)

این دنباله با جملات الگوی الف مطابقت دارد.

\(\begin{array}{l}{p_{n + 1}} = {p_n} - \frac{1}{{10}}{p_n} - 15\\\\ \Rightarrow {p_{n + 1}} = \frac{9}{{10}}{p_n} - 15\quad ,\quad {p_1} = 250\end{array}\)

پایان سال اول:

\(n = 1 \to {p_2} = \frac{9}{{10}}{p_1} - 15 = \frac{9}{{10}} \times 250 - 15 = 210\)

پایان سال دوم:

\(n = 2 \to {p_3} = \frac{9}{{10}}{p_2} - 15 = \frac{9}{{10}} \times 210 - 15 = 174\)

پایان سال سوم:

\(n = 3 \to {p_4} = \frac{9}{{10}}{p_3} - 15 = \frac{9}{{10}} \times 174 - 15 = 141/6\)

پایان سال چهارم:

\(n = 4 \to {p_5} = \frac{9}{{10}}{p_4} - 15 = \frac{9}{{10}} \times 141/6 - 15 = 112/44\)

پایان سال پنجم:

\(n = 5 \to {p_6} = \frac{9}{{10}}{p_5} - 15 = \frac{9}{{10}} \times 112/44 - 15 = 86/156\)