جواب تمرین صفحه 71 درس 2 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی (الگوهای خطی)

الف \(2\;\;,\;\;\frac{1}{2}\;\;,\;\;2\;\;,\;\;\frac{1}{2}\;\;,\;\; \cdots \)

ب \( - 1\;\;,\;\;4\;\;,\;\;9\;\;,\;\;14\;\;,\;\; \cdots \)

ج \( - 1\;\;,\;\; - 4\;\;,\;\; - 19\;\;,\;\; - 94\;\;,\;\; \cdots \)

د 

\(\begin{array}{l}{a_1} = k\;\; \Rightarrow \;\;\\\\k\:,\:k + 1\:,\:k + 3\:,\:k + 6\:,\:k + 10\:,\:k + 15\:,\: \cdots \end{array}\)

اگر k=1 :

\({a_n}:\:1\;,\;2\;,\;4\;,\;7\;,\;11\;,\;15\;,\;\: \cdots \)

دنباله بند ب یک دنباله حسابی است، ولی بقیه دنباله نیستند.

\(\begin{array}{l}{a_n} = {a_1} + (n - 1)d \Rightarrow 555 = - 5 + 8(n - 1)\\\\ \Rightarrow 560 = 8n - 8\\\\ \Rightarrow 568 = 8n \Rightarrow n = 71\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{a_n} = {a_1} + (n - 1)d\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{{a_1} = a} \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_{11}} = a + 10d \Rightarrow a + 10d = 52}\\{{a_{19}} = a + 18d \Rightarrow a + 18d = 92}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_1} = a = 2}\\{d = 5}\end{array}} \right.\\\\{a_{30}} = {a_1} + 29d = 2 + 29 \times 5 = 147\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{a_n} = {a_1} + (n - 1)d\\\\ \Rightarrow {a_{12}} = 3 + (12 - 1)(5) = 58\end{array}\)

فاصله دوازدهمین (آخرین) چرخ تا موتور برابر 58 متر است که برابر شعاع دایره ای است که این میله آبیاری می کند.

مساحت آبیاری شده:

\(S = \pi {(58)^2} \simeq 10562/96\)  متر مربع

\(\begin{array}{l}{a_1} = 12500 - 1875 = 10625\\{a_2} = 10625 - 1875 = 8750\\{a_3} = 8750 - 1875 = 6875\\{a_4} = 6875 - 1875 = 5000\end{array}\)

این دنباله یک دنباله حسابی است و در آن a₁=10625 و d=1875 ؛ پس :

\(\begin{array}{l}{a_n} = {a_1} + (n - 1)d\\\\ \Rightarrow {a_6} = 10625 + (6 - 1)( - 1875) = 1250\end{array}\)

وزن صفحه پس از 6 هفته (گرم)

می توان دنباله ای حسابی در نظر گرفت که جمله اول آن a و جمله آخر آن b باشد. اگر قرار است بین b و a به تعداد m جمله قرار گیرد. در این صورت واضح است که این دنباله دارای n=m+2 جمله است:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = a\\{a_n} = b\end{array} \right.\;\; \Rightarrow \;\;{a_n} - {a_1} = b - a\\\\ \Rightarrow ({a_1} + (n - 1)d) - {a_1} = b - a\\\\ \Rightarrow (n - 1)d = b - a\\\\ \Rightarrow d = \frac{{b - a}}{{n - 1}}\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{n = m + 2} \;d = \frac{{b - a}}{{(m + 2) - 1}} = d = \frac{{b - a}}{{m + 1}}\end{array}\)

\(d = \frac{{b - a}}{{m + 1}}\;\; \Rightarrow \;\;d = \frac{{18 - 10}}{{3 + 1}} = 2\)

لذا دو دنباله زیر را می توان نوشت:

10  ,  12  ,  14  ,  16  ,  18

18  ,  16  ,  14  ,  12  ,  10

الف اگر b جمله آخر و a جمله اول یک دنباله حسابی باشد، در این صورت :

\(b = a + (n - 1)d\)

لذا می توان نتیجه گرفت :

\(n = \frac{{b - a}}{d} + 1\)

در اینجا نیز می توان نوشت :

\(\begin{array}{l}n = \frac{{b - a}}{d} + 1 = \frac{{401 - 1}}{4} + 1 = 101\\\\ \Rightarrow S = \frac{n}{2}(a + b) = \frac{{101}}{2}(401 + 1)\\\\ = 101 \times 201 = 20301\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}n = \frac{{b - a}}{d} + 1 = \frac{{13 - 89}}{{ - 4}} + 1 = 20\\\\ \Rightarrow S = \frac{n}{2}(a + b) = \frac{{20}}{2}(89 + 13)\\\\ = 10 \times 102 = 1020\end{array}\)

می توان یک دنباله حسابی در نظر گرفت که در آن جمله اول 125 و جمله آخر 45 و اختلاف مشترک 10- باشد. در این مسئله تعداد جملات و مجموع جملات مورد نظر برابر است با :

\(\begin{array}{l}n = \frac{{b - a}}{d} + 1 = \frac{{125 - 45}}{{ - 10}} + 1 = 9\\\\S = \frac{n}{2}(a + b) = \frac{9}{2}(125 + 45) = 9 \times 85 = 765\end{array}\)

765 سانتی متر یا 7/65 متر

الف

\(\begin{array}{l}{a_{56}} = {a_1} + (n - 1)d\\\\ \Rightarrow 78 = 84/6 + 55d\\\\ \Rightarrow d = \frac{{78 - 84/6}}{{55}} = - 0/12\\\\{a_n} = {a_1} + (n - 1)d\\\\ \Rightarrow 1/2 = 84/6 + (n - 1)( - 0/12)\\\\ \Rightarrow n - 1 = \frac{{1/2 - 84/6}}{{ - 0/12}} = 695\\\\ \Rightarrow n = 696\end{array}\)

ب

متر \({S_n} = \frac{{696}}{2}(84/6 + 1/2) = 29858/4\)

مجموع طول چاه های حفر شده در یک مسیر است. برای اینکه مجموع طول چاه های حفر شده در کل قنات را بدست آوریم، بایستی مجموع طول چاه های حفر شده در یک مسیر را 3 برابر کنیم، ولی باید در نظر بگیریم که طول چاه مادر هم 3 بار حساب می شود که در نهایت باید 2 برابر طول چاه مادر را از عدد بدست آمده کم کنیم؛ یعنی :

مجموع طول چاه های حفر شده در کل قنات:

متر  \(29858/4 \times 3 - 84/6 \times 2 = 89406\)

ج هزینه حفر چاه های قنات:

89406 \times 250,000 = 22,351,500,000 تومان

د هزینه حفر کانال:

\(71,000 \times 350,000 = 24,850,000,000\) تومان

ارزش حفاری قنات زارچ برابر است با مجموع هزینه حفر چاه های قنات و  هزینه حفر کانال قنات؛ در نتیجه :

ارزش حفاری قنات زارچ:

\(22,351,500,000 + 24,850,000,000 = 47,201,500,000\) تومان