دانلود اپلیکیشن
1 مجموع دنباله های حسابی زیر را به دست آورید.
الف -1, 4, 9, … , 199
ب \({a_{n + 1}} = 5 + {a_n}\;\;,\;\;{a_1} = - 2\;\;\;\;\;{S_{10}} = ?\)
(راهنمایی: ابتدا به کمک رابطهٔ بازگشتی، جملات دنباله را مشخص کنید.)
الف
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = - 1\\{a_2} = 4\end{array} \right.\;\;\; \Rightarrow \;\,{a_2} - {a_1} = d = 5\\\\{a_n} = 199 \Rightarrow {a_n} = {a_1} + d(n - 1)\\\\ \Rightarrow 199 = - 1 + 5(n - 1) \Rightarrow n - 1 = 40\\\\ \Rightarrow n = 41\\\\{S_{41}} = \frac{{41}}{2}( - 1 + 199) = 4059\end{array}\)
ب
\(\begin{array}{l} - 2\;,\;3\;,\;8\;,\;13\;,\;18\;,\;23\;,\;28\;,\;33\;,\;38\;,\;43\\\\ \Rightarrow \;\;\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = - 2\\{a_{10}} = 43\end{array} \right.\quad \\\\ \Rightarrow {S_{10}} = \frac{{10}}{2}(43 + ( - 2)) = 205\end{array}\)
2 مجموع سی جملهٔ اول اعداد فرد را به دست آورید.
\(\begin{array}{l}{a_1} = 1\;\;\;\;{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d = ........\\\\{S_{30}} = ......\left( {{a_1} + {a_{30}}} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{a_1} = 1\;\;\;\;{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n - 1\\\\{a_{30}} = 2 \times 30 - 1 = 59\\\\{S_{30}} = \frac{{30}}{2}\left( {{a_1} + {a_{30}}} \right) = 15\left( {1 + 59} \right) = 15 \times 60 = 900\end{array}\)
3 یک طراح داخلی برای یک سالن سینما در ردیف اول 15 صندلی، در ردیف دوم 18 صندلی و در ردیف سوم 21 صندلی مشخص کرده است. اگر صندلی های هر ردیف با همین نظم اضافه شوند، برای داشتن سالنی با 870 صندلی باید چند ردیف صندلی داشته باشیم؟
با توجه به معلوم بودن Sn=870 برای به دست آوردن n یعنی تعداد ردیف ها، از رابطهٔ
\({S_n} = \frac{n}{2}\left( {2{a_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)
با جای گذاری d=…….. در رابطه بالا n=…….. به دست می آید.
\(\begin{array}{l}15\:,\:18\:,\:21\:,\: \cdots \\\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_n} = 870}\\{d = 3}\\{{a_1} = 15}\\{n = ?}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{n}{2}(2{a_1} + (n - 1))\\\\ \Rightarrow 870 = \frac{n}{2}(30 + 3n - 3)\\\\\: \Rightarrow 1740 = n(27 + 3n)\\\\ \Rightarrow 3{n^2} + 27n - 1740 = 0\\\\ \Rightarrow {n^2} + 9n - 580 = 0\\\\ \Rightarrow (n - 20)(n + 29) = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 20}\\{n = - 29\; \otimes }\end{array}} \right.\end{array}\)
چون n باید عدد طبیعی باشد.
با جای گذاری d=3 در رابطه بالا n=20 به دست می آید.
1736019749.png)
