جواب تمرین صفحه 57 درس 2 هندسه دوازدهم (آشنایی با مقاطع مخروطی)

الف اگر \(BF'\) و \(AF\) یکدیگر را درون دایره قطع نکنند، چهارضلعی \(AFBF'\) را در نظر می گیریم. نقاط \(B\) و \(A\) روی بیضی قرار دارند، پس :

\(\begin{array}{l}AF + AF' = BF + BF' = 2a\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{AF' = BF} \;\;AF + BF = BF + BF'\\\\ \Rightarrow AF = BF'\end{array}\)

به عبارت ئیگر در چهارضلعی \(AFBF'\) اضلاع مقابل دو به دو مساویند، لذا چهارضلعی \(AFBF'\) متوازی الاضلاع است. پس : \(AF\parallel BF'\)

ب اگر \(BF'\) و \(AF\) روی بیضی قرار دارند، پس :

\(\begin{array}{*{20}{l}}{AF + AF' = BF + BF' = 2a}\\{}\\{\mathop \Rightarrow \limits^{BF = AF'} \:\:AF + BF = BF + BF'}\\{}\\{ \Rightarrow AF = BF'}\\{}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AF' = BF}\\{}\\{AF = BF'}\\{}\\{FF' = FF'}\end{array}} \right.}\\{}\\{ \Rightarrow A\mathop F\limits^\Delta F' \cong B\mathop F\limits^\Delta F'}\\{}\\{ \Rightarrow \mathop A\limits^ \wedge = \mathop B\limits^ \wedge }\\{}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop A\limits^ \wedge = \mathop B\limits^ \wedge }\\{}\\{\mathop {\;{M_1}}\limits^ \wedge = \mathop {\;{M_2}}\limits^ \wedge }\\{}\\{AF' = BF}\end{array}} \right.}\\{}\\{ \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta F' \cong B\mathop M\limits^\Delta F}\\{}\\{ \Rightarrow MF' = MF}\end{array}\)

از طرف دیگر قطر کوچک بیضی عمود منصف پاره خط \(FF'\) می باشد. لذا از رأس \(M\) در مثلث متساوی الساقین \(FMF'\) می گذرد.

در مثلث قائم الزاویه \(\triangle OFM\) داریم:

\(\begin{array}{l}O\mathop F\limits^\Delta M:\quad \mathop F\limits^ \wedge = {90^ \circ }\\\\ \Rightarrow F{M^2} = O{M^2} - O{F^2}\\\\\mathop \Rightarrow \limits_{OF = c}^{OM = a} \;F{M^2} = {a^2} - {c^2}\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{{a^2} - {c^2} = {b^2}} F{M^2} = {b^2}\\\\ \Rightarrow FM = b\end{array}\)

بنابراین \(FM\) برابر با نصف قطر کوچک (b) است.

بنابر خاصیت بازتابندگی بیضی، خط مماس \(d\) در نقطه \(M\) ، نیمساز زاویه خارجی \(\angle FMF'\) است. به عبارت دیگر، زاویه بین \(MF\) و خط مماس برابر با زاویه بین \(MF'\) و خط مماس است. این زاویه را \(\beta\) می نامیم (یعنی زاویه تابش برابر زاویه بازتابش است).

فرض کنیم زاویه بین \(MF\) و خط مماس \(d\) برابر \(\alpha\) باشد. پس بنابر خاصیت بازتابندگی، زاویه بین \(MF'\) و خط مماس \(d\) نیز \(\alpha\) است. (\(\beta = \alpha\) در شکل متن اصلی)

خط \(F'N\) موازی با \(MF\) رسم شده است (\(FM \parallel F'N\) ) و خط \(d\) (یا همان \(MN\) ) مورب است. بنابراین زاویه \(\angle MNF'\) (که \(\angle N_1\) نامیده شده) با زاویه بین \(MF\) و خط مماس \(d\) برابر است (زوایای متبادل داخلی). پس \(\angle N_1 = \alpha\) .

در مثلث \(\triangle F'MN\) ، زاویه \(\angle F'MN\) (زاویه بین \(MF'\) و خط مماس) برابر \(\alpha\) است و زاویه \(\angle MNF'\) (\(\angle N_1\) ) نیز برابر \(\alpha\) شد.

چون در مثلث \(\triangle F'MN\) دو زاویه \(\angle F'MN\) و \(\angle MNF'\) برابر هستند، این مثلث متساوی الساقین است و اضلاع مقابل به این زوایا برابرند. یعنی \(NF' = MF’\) .

الف

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AA' = 10 \Rightarrow 2a = 10 \Rightarrow a = 5\\\\BB' = 6 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = {5^2} - {3^2} = \\\\25 - 9 = 16\\\\ \Rightarrow c = 4\\\\OF = OF' = OM = 4\end{array}\)

ب در مثلث MFF' میانه OM نصف ضلع FF' است؛ پس مثلث در رأس M قائمه است:

\(\begin{array}{l}M\mathop F\limits^\Delta F':\\\\OM = OF = OF' = \frac{1}{2}FF'\\\\ \Rightarrow \mathop M\limits^ \wedge = {90^ \circ }\end{array}\)

ج طبق تعریف بیضی، برای نقطه روی بیضی داریم: .

از بخش (ب) می دانیم مثلث قائم الزاویه است، پس طبق قضیه فیثاغورس:

\(\begin{array}{l}MF + MF' = 2a = 10\\\\ \Rightarrow MF' = 10 - MF\\\\M\mathop F\limits^\Delta F':\quad \mathop M\limits^ \wedge = {90^ \circ }\\\\ \Rightarrow M{F^2} + M{{F'}^2} = F{{F'}^2}\\\\ \Rightarrow M{F^2} + {(10 - MF)^2} = {8^2}\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{MF = x} \;\;{x^2} + {(10 - x)^2} = 64\\\\ \Rightarrow {x^2} + 100 - 20x + {x^2} - 64 = 0\\\\ \Rightarrow 2{x^2} - 20x + 36 = 0\\\\ \Rightarrow {x^2} - 10x + 18 = 0\\\\ \Rightarrow x = 5 \pm \sqrt 7 \Rightarrow MF = x\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{if} MF = 5 + \sqrt 7 \\\\ \Rightarrow MF' = 5 - \sqrt 7 \\\\\mathop \Rightarrow \limits^{else} MF = 5 - \sqrt 7 \\\\ \Rightarrow MF' = 5 + \sqrt 7 \end{array}\)

طول قطر بزرگ و طول قطر کوچک است.

طبق فرض مسئله: .

\(\begin{array}{l}AA' = 2BB' \Rightarrow a = 2b\\\\{c^2} = {a^2} - {b^2}\\\\ \Rightarrow {c^2} = {(2b)^2} - {b^2} = 3{b^2}\\\\ \Rightarrow c = \sqrt 3 b\\\\ \Rightarrow \frac{c}{b} = \sqrt 3 \\\\B\mathop O\limits^\Delta F:\\\\\tan (\hat B) = \frac{{OF}}{{BF}} = \frac{c}{b} = \sqrt 3 \\\\ \Rightarrow O\mathop B\limits^ \wedge F = O\mathop B\limits^ \wedge F' = {60^ \circ }\\\\ \Rightarrow F'\mathop B\limits^ \wedge F = {120^ \circ }\end{array}\)

بنابراین اندازه زاویه برابر 120 درجه است.

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}BB' \bot d\\\\BB' \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot AA'\\\\B\mathop C\limits^\Delta F:\quad \mathop F\limits^ \wedge = {90^ \circ }\;,\;\mathop C\limits^ \wedge = {45^ \circ }\\\\ \Rightarrow \mathop {{B_1}}\limits^ \wedge = {45^ \circ }\\\\ \Rightarrow \mathop {{B_2}}\limits^ \wedge = \mathop {{F_1}}\limits^ \wedge = {45^ \circ }\\\\ \Rightarrow OB = OF \Rightarrow b = c\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{{a^2} = {b^2} + {c^2}} \;\;\;{a^2} = {c^2} + {c^2} = 2{c^2}\\\\ \Rightarrow a = \sqrt 2 c\\\\\frac{{OF}}{{OA}} = \frac{c}{a}\\\\ \Rightarrow \frac{{OF}}{{OA - OF}} = \frac{c}{{a - c}}\\\\ \Rightarrow \frac{{OF}}{{OA}} = \frac{c}{{\sqrt 2 c - c}} = \\\\\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} = \sqrt 2 + 1\\\\ \Rightarrow \frac{{OF}}{{OA}} = \sqrt 2 + 1\\\\O\mathop B\limits^\Delta F \cong F\mathop C\limits^\Delta D\\\\ \Rightarrow OF = DF\\\\ \Rightarrow \frac{{DF}}{{AF}} = \sqrt 2 + 1\\\\ \Rightarrow \frac{{DF - AF}}{{AF}} = \frac{{\sqrt 2 + 1 - 1}}{1}\\\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{AF}} = \sqrt 2 \end{array}\)

معادله را به صورت استاندارد در می آوریم:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{y = a{x^2} + bx + c}\\{}\\{ \Rightarrow y - c = a\;({x^2} + \frac{b}{a}x)}\\{}\\{ \Rightarrow y - c = a\;({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}})}\\{}\\{ \Rightarrow y - c = a\;{{(x + \frac{b}{{2a}})}^2} - \frac{{{b^2}}}{{4a}}}\\{}\\{ \Rightarrow y - c + \frac{{{b^2}}}{{4a}} = a\;{{(x + \frac{b}{{2a}})}^2}}\\{}\\{ \Rightarrow y - \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} = a\;{{(x - \frac{{ - b}}{{2a}})}^2}}\\{}\\{ \Rightarrow 4p = a\;\; \Rightarrow p = \frac{a}{4}}\\{}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha = \frac{{ - b}}{{2a}}}\\{}\\{\beta = \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}}\end{array}} \right.}\\{}\\{F\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha = \frac{{ - b}}{{2a}}}\\{}\\{\beta + p = \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} + \frac{a}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\\{}\\{ \Rightarrow F(\frac{{ - b}}{{2a}}\;,\;\frac{{{a^2} + 4ac - {b^2}}}{{4a}})}\\{}\\{y = \beta - p = }\\{}\\{\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} - \frac{a}{4} = \frac{{4ac - {b^2} - {a^2}}}{{4a}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{y = a{x^2} + bx + c}\\{}\\{ \Rightarrow y - c = a\;({x^2} + \frac{b}{a}x)}\\{}\\{ \Rightarrow y - c = a\;({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}})}\\{}\\{ \Rightarrow y - c = a\;{{(x + \frac{b}{{2a}})}^2} - \frac{{{b^2}}}{{4a}}}\\{}\\{ \Rightarrow y - c + \frac{{{b^2}}}{{4a}} = a\;{{(x + \frac{b}{{2a}})}^2}}\\{}\\{ \Rightarrow y - \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} = a\;{{(x - \frac{{ - b}}{{2a}})}^2}}\\{}\\{ \Rightarrow 4p = a\;\; \Rightarrow p = \frac{a}{4}}\\{}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha = \frac{{ - b}}{{2a}}}\\{}\\{\beta = \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}}\end{array}} \right.}\\{}\\{F\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha = \frac{{ - b}}{{2a}}}\\{}\\{\beta + p = \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} + \frac{a}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\\{}\\{ \Rightarrow F(\frac{{ - b}}{{2a}}\;,\;\frac{{{a^2} + 4ac - {b^2}}}{{4a}})}\\{}\\{y = \beta - p = }\\{}\\{\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} - \frac{a}{4} = \frac{{4ac - {b^2} - {a^2}}}{{4a}}}\end{array}\)

پاسخ کوتاه:

\(S(1\;,\;2) \Rightarrow \alpha = 1\;,\;\beta = 2\)

چون S و F ، طول های برابر دارند و نقطه S در صفحه مختصات بالاتر از F قرار دارد، سهمی قائم می باشد و تقعر آن رو به پایین است؛ لذا :

\(\begin{array}{l}F(1\;,\; - 2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha = 1\\\\\beta - \alpha = - 2\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow 2 - \alpha = - 2 \Rightarrow \underline {\alpha = 4 > 0} \\\\{(x - \alpha )^2} = - 4\alpha (y - \beta )\\\\ \Rightarrow {(x - 1)^2} = - 16(y - 2)\end{array}\)

پاسخ کاملتر:

رأس \(S(1,2)\)  پس \(\alpha=1, \beta=2\)

کانون \(F(1,-2)\)  .

چون طول رأس و کانون یکسان است (x=1)، سهمی قائم است. محور تقارن آن خط x=1 است.

چون عرض کانون (2-) از عرض رأس (2) کمتر است، دهانه سهمی رو به پایین باز می شود.

فاصله رأس تا کانون برابر |P| است: \(|p| = |y_F - y_S| = |-2 - 2| = |-4| = 4\)

چون دهانه رو به پایین است، p منفی است، پس p=-4 .

معادله سهمی قائم: \({(x-\alpha)^2} = 4p(y-\beta)\)

\({(x-1)^2} = 4(-4)(y-2)\)

\({(x-1)^2} = -16(y-2)\)

\(\begin{array}{l}{y^2} = 4x - 4 \Rightarrow {(y - 0)^2} = 4(x - 1)\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha = 1\\\\\beta = 0\\\\4a = 4 \Rightarrow a = 1\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow F(\alpha + a\;,\;\beta ) \Rightarrow F(2\;,\;0)\\\\{(x - 2)^2} + {(y - 0)^2} = {3^2}\\\\ \Rightarrow {(x - 2)^2} + {y^2} = 9\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{{y^2} = 4x - 4} \;\;{(x - 2)^2} + 4x - 4 = 9\\\\ \Rightarrow {x^2} - 4x + 4 + 4x - 4 = 9\\\\ \Rightarrow {x^2} = 9\\\\ \Rightarrow x = \pm 3\\\\if\,\,\,x = 3:\\\\ \Rightarrow {y^2} = 4(3) - 4 = 8\\\\ \Rightarrow y = \pm \sqrt 8 \\\\ \Rightarrow A(3\;,\;\sqrt 8 )\;,\;B(3\;,\; - \sqrt 8 )\\\\else\,\,\,x = - 3:\\\\ \Rightarrow {y^2} = 4( - 3) - 4 = - 16\end{array}\)

فرض کنیم نقطه A نقطه دلخواهی روی سهمی باشد. به مرکز A و شعاع AF دایره ای رسم می کنیم. بنا به تعریف سهمی، هر نقطه روی سهمی از کانون و خط هادی آن به یک فاصله است؛ پس دایره رسم شده باید بر خط d مماس باشد.

بالعکس فرض می کنیم دایره C(A,r) از F می گذرد و بر خط در نقطه H مماس است. بدیهی است که AF=AH=r ؛ پس نقطه A از کانون و خط هادی سهمی به یک فاصله است؛ لذا A روی سهمی قرار دارد.

نتیجه:

هر سهمی، مکان هندسی مرکز دایره ای از صفحه است که از یک نقطه ثابت آن صفحه می گذرد و بر یک خط ثابت از آن صفحه مماس است.

A و M دو نقطه روی سهمی اند، پس فاصله آن ها از کانون و خط هادی سهمی برابر است؛ یعنی :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MT = MF\\\\AH = AF\end{array} \right. \Rightarrow FH = 2AH\\\\F\mathop N\limits^\Delta H:\\\\TM\parallel FH\;\; \Rightarrow \;\;\frac{{TM}}{{FH}} = \frac{{NM}}{{NF}}\\\\\mathop \Rightarrow \limits_{FH = 2FA}^{TM = MF} \;\;\;\frac{{MF}}{{2FA}} = \frac{{NM}}{{NF}}\\\\ \Rightarrow \frac{{NF}}{{2FA}} = \frac{{NM}}{{MF}}\quad (1)\\\\F\mathop N\limits^\Delta H:\\\\TM\parallel FH \Rightarrow \frac{{TN}}{{TH}} = \frac{{NM}}{{MF}}\quad (2)\\\\(1)\;,\;(2) \Rightarrow \frac{{NF}}{{2FA}} = \frac{{TN}}{{TH}}\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{ \times \,2} \frac{{FN}}{{FA}} = \frac{{2NT}}{{TH}}\end{array}\)

با توجه به شکل، سهمی داده شده، قائم است و رأس آن مبدأ مختصات می باشد؛ پس معادله آن به صورت مقابل است: \({x^2} = 4a\;y\)

اگر \(({x_ \circ }\;,\;{y_ \circ })\)   نقطه ای روی سهمی باشد، به راحتی می توان فاصله کانونی را به شکل مقابل حساب نمود: 

\({x_ \circ }^2 = 4a\;{y_ \circ } \Rightarrow a = \frac{{4{y_ \circ }}}{{{x_ \circ }^2}}\)

حال به روش ارائه شده بپردازیم:

قطر دهانه دیش \(2{x_ \circ }\) و عمق دیش \({y_ \circ }\) است؛ پس بنا به روش مسأله داریم:

\(\frac{{\frac{{2{x_ \circ } \times 2{x_ \circ }}}{{{y_ \circ }}}}}{{16}} = \frac{{4{x_ \circ }^2}}{{16{y_ \circ }}} = \frac{{{x_ \circ }^2}}{{4{y_ \circ }}} = a\)

پاسخ کوتاه:

فرض کنیم BC=a و AH=h_o و محیط مثلث ABC برابر 2p باشد. پاره خط BC=a را رسم نموده و وسط آن را O می نامیم. دایره ای به مرکز O و قطر 2p=a رسم می کنیم و BC را امتداد می دهیم تا دایره را در نقاط N و N' قطع کند. سپس یک بیضی به کانون های B و C که از N یا N' بگذرد. بدیهی است که NN' قطر بزرگ بیضی است و NN'=2p-a.

اگر A نقطه ی دلخواهی از بیضی باشد:

\(\begin{array}{l}AB + AC = NN'\\\\ \Rightarrow AB + AC = 2p - a\\\\ \Rightarrow AB + AC + BC = \\\\2p - a + a = 2p\end{array}\)

از نقطه N عمود MN=h_o را از NN' خارج نموده و از M خط موازی NN' را رسم می کنیم. محل تقاطع خط و بیضی را A می نامیم و مثلث ABC را رسم می کنیم. مثلث ABC پاسخ مسأله است.

الف برای یافتن نقاط برخورد \(y=x^2\) و \(y=ax+b\) ، آنها را مساوی قرار می دهیم:

\(x^2 = ax + b\)

\(x^2 - ax - b = 0\)

این معادله درجه دومی است که ریشه های آن (\(x_A\) و \(x_B\) ) طول نقاط برخورد هستند.

ب مختصات نقاط برخورد \(A(x_A, y_A)\) و \(B(x_B, y_B)\) هستند. نقطه M وسط AB است.

طول نقطه M :

\(x_M = \frac{x_A + x_B}{2}\)

از معادله \(x^2 - ax - b = 0\) ، مجموع ریشه ها برابر \(x_A + x_B = -(\frac{-a}{1}) = a\) است.

\(x_M = \frac{a}{2}\)

عرض نقطه M :

\(y_M = \frac{y_A + y_B}{2}\)

چون نقاط A و B روی خط y = ax + b هستند، \(y_A = ax_A + b\) و \(y_B = ax_B + b\) .

\(\begin{array}{l}{y_M} = \frac{{(a{x_A} + b) + (a{x_B} + b)}}{2} = \frac{{a({x_A} + {x_B}) + 2b}}{2}\\\\ = \frac{{a(a) + 2b}}{2} = \frac{{{a^2} + 2b}}{2}\end{array}\)

(روش دیگر: \(y_A = x_A^2\) و \(y_B = x_B^2\) . \(y_M = \frac{x_A^2 + x_B^2}{2} = \frac{(x_A+x_B)^2 - 2x_A x_B}{2}\) . حاصلضرب ریشه ها \(x_A x_B = \frac{-b}{1} = -b\) . \(y_M = \frac{a^2 - 2(-b)}{2} = \frac{a^2+2b}{2}\) )

پس مختصات \(M(\frac{a}{2}, \frac{a^2 + 2b}{2})\) است.

پ برای خط \(d_2: y = ax + b'\) ، معادله برخورد \(x^2 - ax - b' = 0\) است.

نقاط برخورد \(A'(x_{A'}, y_{A'})\) و \(B'(x_{B'}, y_{B'})\) .

نقطه وسط 'M .

مجموع ریشه های معادله \(x^2 - ax - b' = 0\) برابر \(x_{A'} + x_{B'} = a\)  است.

\(x_{M'} = \frac{x_{A'} + x_{B'}}{2} = \frac{a}{2}\)

عرض 'M :

\(\begin{array}{l}{y_{M'}} = \frac{{{y_{A'}} + {y_{B'}}}}{2} = \frac{{(a{x_{A'}} + b') + (a{x_{B'}} + b')}}{2}\\\\ = \frac{{a({x_{A'}} + {x_{B'}}) + 2b'}}{2} = \frac{{a(a) + 2b'}}{2} = \frac{{{a^2} + 2b'}}{2}\end{array}\)

پس مختصات \(M'(\frac{a}{2}, \frac{a^2 + 2b'}{2})\) است.

ت طول نقاط و هر دو برابر \(\frac{a}{2}\) است (\(x_M = x_{M'} = \frac{a}{2}\)).

بنابراین خط یک خط قائم (عمودی) به معادله \(x = \frac{a}{2}\) است. این خط موازی محور ها است.

ث ابتدا دو خط موازی d و d' را چنان رسم می کنیم که سهمی را در نقاط A و B و A' و B' قطع کند. سپس وسط پاره خط های AB و A'B' را به ترتیب M و M' می نامیم.

از رأس سهمی خط L را موازی MM' رسم می کنیم. خط L پاسخ مسأله است.