شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
رابطهٔ ضمنی \({x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0\) معادلهٔ یک دایره است، اگر و تنها اگر \({a^2} + {b^2} > 4c\) باشد و اگر \({a^2} + {b^2} < 4c\) باشد، این معادله هیچ نقطه از صفحه را مشخص نمی کند و اگر \({a^2} + {b^2} = 4c\) باشد، این معادله تنها یک نقطه به مختصات \(( - \frac{a}{2},\, - \frac{b}{2})\) را در صفحه مشخص می کند (چرا؟)
ابتدا رابطه ضمنی بالا را به فرم استاندارد فرمول دایره تبدیل می کنیم:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0\\\\ \Rightarrow {\left( {x + \;\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \;\frac{b}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} - 4c}}{4}\end{array}\)
طبق آن چه که در بالا گفته شد، عبارت \({a^2} + {b^2} = 4c\) را به صورت زیر در می آوریم و در فرم استاندارد قرار می دهیم:
\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 4c\\\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 4c = 0\\\\ \Rightarrow {\left( {x + \;\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \;\frac{b}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} - 4c}}{4}\\\\ \Rightarrow {\left( {x + \;\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \;\frac{b}{2}} \right)^2} = \frac{0}{4} = 0\end{array}\)
نکته: جمع دو عدد غیر منفی همواره غیر منفی است.
در نتیجه داخل پرانتزها می بایست برابر با صفر قرار گیرد. با صفر قرار دادن داخل پرانتز ها تنها جوابی که در این رابطه صدق می کند همان نقطه ای است که در مطلب بالا ذکر شد:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + \;\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \;\frac{b}{2}} \right)^2} = 0\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \;\frac{a}{2} = 0 \Rightarrow x = - \;\frac{a}{2}\\\\y + \;\frac{b}{2} = 0 \Rightarrow y = - \;\frac{b}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
1736019749.png)
