شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
می خواهیم وضعیت خط به معادله \(x + y = 4\) و دایره \({x^2} + {y^2} - 2y - 3 = 0\) را تعیین کنیم.
روش اول: از معادله خط، \(y = 4 - x\) را در معادله دایره جایگزین می کنیم (با این کار در صورت برخورد خط و دایره، مختصات نقطه های برخورد از معادله حاصل به دست می آید:)
\({x^2} + {\left( {4 - x} \right)^2} - 2\left( {4 - x} \right) - 3 = 0\; \Rightarrow \;..\)
با ساده کردن معادله حاصل و تعیین علامت ∆ ، نشان دهید معادله فوق ریشه حقیقی ندارد و در نتیجه خط و دایره نقطه برخوردی ندارند.
روش دوم: معادله دایره را استاندارد کنید و مختصات مرکز و طول شعاع آن را بیابید.سپس فاصله مرکز دایره از خط را بیابید. چگونه تشخیص می دهید خط و دایره نسبت به هم چه وضعی دارند؟
با رسم شکل خط و دایره در یک دستگاه مختصات، درستی نتیجه گیریتان را ببینید.
روش اول:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {\left( {4 - x} \right)^2} - 2\left( {4 - x} \right) - 3 = 0\; \Rightarrow \;\\\\{x^2} + 16 - 8x + {x^2} - 8 + 2x - 3 = 0\\\\ \Rightarrow 2{x^2} - 6x + 5 = 0\\\\ \Rightarrow \Delta = 36 - 4(2)(5) = - 4 < 0\end{array}\)
خط و دایره نقطه برخوردی ندارند.
روش دوم:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} - 2y - 3 = 0}\\{}\\{ \Rightarrow {x^2} + {{(y - 1)}^2} = 4}\\{}\\{ \Rightarrow O(0\;,\;1)\;,\;r = 2}\\{}\\{ \Rightarrow OH = \frac{{\left| {1(0) - 1(1) - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}}\\{}\\{ \Rightarrow O{H^2} > {r^2} \Rightarrow OH > r}\end{array}\)
خط و دایره نقطه برخوردی ندارند.
1736019749.png)
