جواب تمرین صفحه 67 درس 2 آمار و احتمال یازدهم ریاضی

خیر، دو پیشامد ناسازگار، در صورتی مستقل از یکدیگرند که حداقل یکی از آن ها تهی باشد.

اثبات: فرض کنیم دو پیشامد A و B ناسازگار مستقل باشند، بنابراین :

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A \cap B) = 0}\\{P(A \cap B) = P(A) \times P(B)}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow P(A) \times P(B) = 0 \Rightarrow P(A) = 0 \vee P(B) = 0\end{array}\)

خیر، در نظر بگیرید \(S = \{ a,b,c,d\} \) فضای نمونه و \(A = \{ a,b\} \) و \(B = \{ a,c\} \) دو پیشامد از آن باشند.

\(\begin{array}{l}P(A) = \frac{1}{2}\quad ,\quad P(B) = \frac{1}{2}\quad ,\quad A \cap B = \{ a\} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{4}\\\\ \Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\end{array}\)

در نتیجه A و B مستقلند.

پیشامدهای \(E = \{ a\} \) و \(F = \{ c\} \) به ترتیب زیرمجموعه‌های A و B را در نظر می‌گیریم:

\(\begin{array}{l}P(E) = \frac{1}{4}\quad ,\quad P(F) = \frac{1}{4}\quad ,\quad E \cap F = \emptyset \Rightarrow P(E \cap F) = 0\\\\ \Rightarrow P(E \cap F) \ne P(E) \times P(F)\end{array}\)

در نتیجه E و F مستقل نیستند.

فرض کنیم دو پیشامد A و B از فضای نمونه‌ای S مستقل باشند، در نتیجه

\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)

الف

با توجه به فرض، نشان می‌دهیم \(P(B \cap A') = P(B) \times P(A')\)

\(\begin{array}{l}P(B \cap A') = P(B - A) = P(B) - P(A \cap B) = \\\\P(B) - P(A) \times P(B) = P(B)(1 - P(A)) = P(B) \times P(A')\end{array}\)

نتیجه: اگر دو پیشامد مستقل باشند، آنگاه هر کدام از آن‌ها مستقل از متمم دیگری است.

ب

روش اول: طبق قسمت قبل 'A و B مستقل هستند، از طرفی بنا به نتیجه آن، هر کدام از پیشامدها مستقل از متمم دیگری است، یعنی'A مستقل از متمم B خواهد بود، پس 'A و 'B مستقلند.

روش دوم: با توجه به قسمت الف، نشان می‌دهیم \(P(A' \cap B') = P(A') \times P(B')\)

\(\begin{array}{l}P(A' \cap B') = P(A' - B) = P(A') - P(A' \cap B) = \\\\P(A') - P(A') \times P(B) = P(A')(1 - P(B)) = P(A') \times P(B')\end{array}\)

روش سوم: بدون استفاده از قسمت الف، به کمک فرض سوال اثبات می‌کنیم \(P(A' \cap B') = P(A') \times P(B')\)

\(\begin{array}{l}P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A \cap B) = \\\\1 - P(A) - P(B) + P(A) \times P(B) = \\\\1 - P(A) - P(B) + (1 - P(A)) = P(A') - P(B) \times P(A') = \\\\P(A')(1 - P(B)) = P(A') \times P(B')\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A = \{ (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5)\} \\\\ \Rightarrow P(A) = \frac{{10}}{{36}}\\\\B = \{ (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\} \\\\ \Rightarrow P(B) = \frac{6}{{36}}\\\\A \cap B = \{ (3,2),(3,4)\} \\\\ \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{2}{{36}} \Rightarrow \frac{{10}}{{36}} \times \frac{6}{{36}} \ne \frac{2}{{36}}\\\\ \Rightarrow P(A \cap B) \ne P(A) \times P(B)\end{array}\)

دو پیشامد مستقل از هم نیستند.

\(\begin{array}{l}A = \{ 2,4,6,8,10\} \Rightarrow P(A) = \frac{5}{{10}}\quad ,\quad B = \{ 3,6,9\} \Rightarrow P(B) = \frac{3}{{10}}\\\\A \cap B = \{ 6\} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \frac{5}{{10}} \times \frac{3}{{10}} \ne \frac{1}{{10}}\\\\ \Rightarrow P(A \cap B) \ne P(A) \times P(B)\end{array}\)

دو پیشامد مستقل از هم نیستند.

پیشامد موفقیت عمل پیوند کلیه روی بیمار اول را با A و بیمار دوم را با B نمایش می‌دهیم. با توجه به مستقل بودن آن‌ها داریم:

الف

\(\begin{array}{l}P(A) = 0/6\quad ,\quad P(B) = 0/8\\\\P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0/6 \times 0/8 = 0/48\end{array}\)

ب

طبق آنچه در تمرین 3 ثابت شد، هرگاه دو پیشامد مستقل باشند، متمم آن‌ها نیز مستقلند، بنابراین:

\(\begin{array}{l}P(A') = 0/4\quad ,\quad P(B') = 0/2\\\\P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = 0/4 \times 0/2 = 0/08\end{array}\)

پ

طبق تمرین 3، هرگاه دو پیشامد مستقل از هم باشند، هر کدام از آن‌ها مستقل از متمم دیگری است، بنابراین:

\(\begin{array}{l}P(A') = 0/4\quad ,\quad P(B) = 0/8\\\\P(A' \cap B) = P(A') \times P(B) = 0/4 \times 0/8 = 0/32\end{array}\)

پیشامد رو بودن سکه را با A و پیشامد 6 آمدن هر دو تاس را با B نمایش می‌دهیم. واضح است که این دو پیشامد مستقل از یکدیگرند، بنابراین احتمال این که سکه رو و هر دو تاس 6 بیابند :

\(\begin{array}{l}P(A) = \frac{1}{2}\quad ,\quad P(B) = \frac{1}{{36}}\\\\P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{{36}} = \frac{1}{{72}}\end{array}\)

الف

احتمال این که هر سوال را صحیح پاسخ دهد، \(\frac{1}{5}\) است. از طرفی پیشامدهای پاسخ دادن به هر سوال مستقل از سوال دیگر است. بنابراین احتمال پاسخ صحیح دادن تمام سوال ها برابر است با :

\(\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \ldots \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{{{5^{10}}}}\)

ب

احتمال اینکه به هر سوال پاسخ صحیح دهد \(\frac{1}{5}\)و پاسخ غلط دهد \(\frac{4}{5}\) است، بنابراین :

\(\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{{{4^5}}}{{{5^{10}}}} = {(0/4)^{10}}\)

پ

این سوال مشابه قسمت ب حل می شود با این تفاوت که باید از بین ۱۰ سوال، ۵ سوال را برای پاسخ صحیح دادن برگزید یعنی \(\left( \begin{array}{c}10\\5\end{array} \right)\) حالت وجود دارد، در نتیجه احتمال آن برابر است با :

\(\left( \begin{array}{c}10\\5\end{array} \right) \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \left( \begin{array}{c}10\\5\end{array} \right) \times {(0/4)^{10}}\)

الف

با در نظر گرفتن این که بیرون آوردن مهره‌ها با جای‌گذاری است، پیشامد برای هر مهره مستقل از مهره دیگر است. احتمال قرمز بودن هر مهره \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) است. بنابراین احتمال قرمز بودن دو مهره \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

ب

روش اول :

=(مهره اول آبی و دومی غیر آبی)P

\(\frac{2}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{8}{{36}}\)

=(مهره اول غیر آبی و دومی آبی)P

\(\frac{4}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{8}{{36}}\)

=(مهره اول آبی و دومی نیز آبی)P

\(\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{{36}}\)

بنابراین احتمال اینه حداقل یکی آبی باشد برابر است با

\(\frac{8}{{36}} + \frac{8}{{36}} + \frac{4}{{36}} = \frac{5}{9}\)

روش دوم :

احتمال اینکه هیچ کدام آبی نباشد، \(\frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{{16}}{{36}}\) متمم حداقل یک مهره آبی بودن، است.

بنابراین احتمال حداقل یک مهره آبی بودن برابر است با :

\(1 - \frac{{16}}{{36}} = \frac{5}{9}\)

پ

مهره‌ها هر دو قرمز یا هر دو آبی‌اند. احتمال هر دو قرمز باشند \(\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{9}{{36}}\) و احتمال هر دو آبی باشند \(\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{{36}}\) است. در نتیجه احتمال هر دو مهره همرنگ باشند برابر است با :

\(\frac{9}{{36}} + \frac{4}{{36}} = \frac{{13}}{{36}}\)

الف

(لامپ سوم معیوب باشد)P × (لامپ دوم معیوب باشد)P × (لامپ اول معیوب باشد)P

\( = \frac{3}{{12}} \times \frac{2}{{11}} \times \frac{1}{{10}} = \frac{1}{{220}}\)

ب

\( = 1 - \frac{9}{{12}} \times \frac{8}{{11}} \times \frac{7}{{10}} = \frac{{34}}{{55}}\)

احتمال عدم موفقیت دارو روی هر شخص \(1 - 0/9 = 0/1\) است.

با توجه به مستقل بودن افراد از یکدیگر، احتمال اینکه روی همه افراد جواب منفی داشته باشد برابر است با :

\(0/1 \times 0/1 \times 0/1 \times \ldots \times 0/1 = {(0/1)^{10}}\)

\(\begin{array}{l}P(A \cap B') = P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)\\\\ \Rightarrow 0/4 = P(A) - 0/1\\\\ \Rightarrow P(A) = 0/5\\\\P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\\\\ \Rightarrow 0/1 = 0/5 \times P(B)\\\\ \Rightarrow P(B) = 0/2\\\\P(A \cup B') = P(A) + P(B') - P(A \cap B') = 0/5 + (1 - 0/2) - 0/4 = 0/9\end{array}\)