شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
به چند حالت مختلف میتوان ۲ لامپ را یکی پس از دیگری از بین ۵ لامپ جعبهٔ اوّل مذکور انتخاب کرد؟ در چند حالت هر دو لامپ معیوب است؟ مشابه همین سؤالها را در مورد جعبهٔ دوم بررسی کنید. با توجه به نتایج، انتخاب کدام جعبه را برای حالت دوم بهتر میدانید؟
با توجه به اطلاعات مسئله قبل (جعبه اول: ۵ لامپ شامل ۳ سالم و ۲ معیوب | جعبه دوم: ۲۰ لامپ شامل ۱۳ سالم و ۷ معیوب) و عبارت «یکی پس از دیگری» که نشاندهنده اهمیت ترتیب (جایگشت) در انتخاب بدون جایگذاری است، پاسخها به شرح زیر است:
۱ بررسی جعبه اول
قسمت مورد نظر: «به چند حالت مختلف میتوان ۲ لامپ را یکی پس از دیگری از بین ۵ لامپ جعبهٔ اوّل مذکور انتخاب کرد؟»
پاسخ: از فرمول جایگشت برای انتخاب ۲ مهره از ۵ مهره استفاده میکنیم:
\(P(5,2) = \frac{{5!}}{{(5 - 2)!}} = 5 \times 4 = 20\)
قسمت مورد نظر: «در چند حالت هر دو لامپ معیوب است؟»
پاسخ: چون در جعبه اول تنها ۲ لامپ معیوب داریم، تعداد حالات انتخاب هر دو لامپ معیوب برابر است با:
\(P(2,2) = 2 \times 1 = 2\)
2 بررسی جعبه دوم
قسمت مورد نظر: «مشابه همین سؤالها را در مورد جعبهٔ دوم بررسی کنید.»
پاسخ:
تعداد کل حالات انتخاب ۲ لامپ از بین ۲۰ لامپ:
\(P(20,2) = 20 \times 19 = 380\)
تعداد حالات انتخاب ۲ لامپ معیوب از بین ۷ لامپ معیوبِ جعبه دوم:
\(P(7,2) = 7 \times 6 = 42\)
۳. نتیجهگیری نهایی
قسمت مورد نظر: «با توجه به نتایج، انتخاب کدام جعبه را برای حالت دوم بهتر میدانید؟»
پاسخ: برقکار برای موفقیت به «حداقل یک لامپ سالم» نیاز دارد. ما احتمال شکست کامل (انتخاب دو لامپ معیوب) را برای هر جعبه محاسبه میکنیم تا ببینیم ریسک کدام جعبه کمتر است.
احتمال انتخاب دو لامپ معیوب در جعبه اول:
\(\frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}} = 10\% \)
احتمال انتخاب دو لامپ معیوب در جعبه دوم:
\(\frac{{42}}{{380}} = \frac{{21}}{{190}} \approx 11/05\% \)
از آنجا که احتمال بیرون آمدن دو لامپ معیوب در جعبه اول \(\left( {10\% } \right)\) کمتر از جعبه دوم (حدود 11/05\%) است، در نتیجه شانس داشتن حداقل یک لامپ سالم در جعبه اول بیشتر است. بنابراین، انتخاب جعبه اول برای حالت دوم بهتر و منطقیتر است.
1736019749.png)
