شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
یک تاس طوری ساخته شده که روی سه وجه آن عدد ۱، روی دو وجه آن عدد ۲ و روی وجه باقیمانده عدد ۳ مشاهده میشود. اگر این تاس را پرتاب کنیم،
۱ فضای نمونهای این آزمایش تصادفی را بنویسید.
\(S = \{ \ldots , \ldots , \ldots \} \)
۲ با توجه به اینکه عدد ۱ روی سه وجه این تاس قرار دارد، احتمال اینکه این عدد بعد از پرتاب دیده شود را به دست آورید.
\(A = \{ 1\} \Rightarrow P(A) = \frac{ \ldots }{ \ldots }\)
آیا میتوانید از رابطهٔ \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(S)}}\) برای محاسبهٔ احتمال وقوع پیشامد A استفاده کنید؟ چرا؟
هر زیرمجموعه تکعضوی از فضای نمونهای را یک پیشامد ساده میگوییم. در پیشامدهای ساده، معمولاً بهجای \(P(\{ a\} )\) مینویسیم P(a).
۳ مشابه قسمت قبل، یعنی با توجه به تعداد وجوهی از تاس که اعداد ۲ و ۳ روی آنها نوشته شده است، احتمال وقوع پیشامدهای ساده \(B = \{ 2\} \) و \(C = \{ 3\} \) را به دست آورید.
\(P(\{ 2\} ) = \frac{ \ldots }{ \ldots }\quad ,\quad P(\{ 3\} ) = \frac{ \ldots }{ \ldots }\)
۴ آیا احتمال وقوع پیشامدهای ساده \(B\,,\,A\) و C با یکدیگر برابرند؟ توضیح دهید
۵ به کمک نتایج قسمتهای قبل، مجموع احتمالهای پیشامدهای ساده را به دست آورید.
\(P(\{ 1\} ) + P(\{ 2\} ) + P(\{ 3\} ) = \ldots + \ldots + \ldots = \ldots \)
۶ اگر \(D = \{ 1,2\} \) پیشامد مشاهده اعداد ۱ یا ۲ در پرتاب تاس باشد، P(D) را به دست آورید. این مقدار را با \(P(\{ 1\} ) + P(\{ 2\} )\) مقایسه کنید.»
این تاس در مجموع ۶ وجه دارد (۳ وجه با شماره ۱، ۲ وجه با شماره ۲، و ۱ وجه با شماره ۳).
۱ فضای نمونهای:
پاسخ: فضای نمونهای شامل تمام پیشامدهای ساده (نتایج متمایز ممکن) است. بنابراین:
\(S = \{ 1,2,3\} \)
۲ احتمال پیشامد A و بررسی فرمول:
پاسخ جای خالی: چون عدد ۱ روی ۳ وجه از ۶ وجه تاس قرار دارد:
\(A = \{ 1\} \Rightarrow P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
پاسخ به سؤال (آیا میتوانید از رابطه... استفاده کنید؟): خیر. رابطهٔ \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(S)}}\) تنها زمانی قابل استفاده است که تمام اعضای فضای نمونهای S همشانس باشند. در این آزمایش، شانس آمدن اعداد ۱، ۲ و ۳ برابر نیست. اگر از این رابطه استفاده میکردیم، جواب \(\frac{1}{3}\) میشد که کاملاً اشتباه است.
۳ احتمال وقوع پیشامدهای B و C:
پاسخ جای خالی: عدد ۲ روی ۲ وجه و عدد ۳ روی ۱ وجه قرار دارد، بنابراین نسبت آنها را به کل ۶ وجه حساب میکنیم:
\(\begin{array}{l}P(\{ 2\} ) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\\\\P(\{ 3\} ) = \frac{1}{6}\end{array}\)
۴ مقایسه احتمال وقوع پیشامدهای ساده:
پاسخ: خیر، برابر نیستند. زیرا تعداد وجوهی که به هر عدد اختصاص داده شده متفاوت است (عدد ۱ سه وجه، عدد ۲ دو وجه و عدد ۳ تنها یک وجه دارد). در نتیجه شانس یا احتمال رخ دادن آنها با هم تفاوت دارد.
۵ مجموع احتمالهای پیشامدهای ساده:
پاسخ جای خالی:
\(P(\{ 1\} ) + P(\{ 2\} ) + P(\{ 3\} ) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1\)
(مجموع احتمالات تمام پیشامدهای سادهٔ یک فضای نمونه همواره برابر با ۱ است).
۶ محاسبه P(D) و مقایسه:
پاسخ: پیشامد D یعنی آمدن عدد ۱ یا ۲. تعداد کل وجوهی که روی آنها ۱ یا ۲ نوشته شده برابر است با ۵ وجه \(\left( {3{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}5} \right)\). بنابراین:
\(P(D) = \frac{5}{6}\)
مقایسه: مجموع احتمالهای آمدن ۱ و آمدن ۲ نیز برابر است با:
\(P(\{ 1\} ) + P(\{ 2\} ) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\)
همانطور که مشاهده میشود، این دو مقدار با یکدیگر برابر هستند (\(P(D) = P(\{ 1\} ) + P(\{ 2\} )\)). این موضوع نشاندهنده اصل جمع احتمالات برای پیشامدهای ناسازگار است.
1736019749.png)
