شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
فرض کنید B پیشامدی با احتمال مثبت باشد. نشان دهید :
الف اگر \({A_1}\) و \({A_2}\) دو پیشامد ناسازگار باشند :
\(P(({A_1} \cup {A_2})|B) = P({A_1}|B) + P({A_2}|B)\)
ب برای هر پیشامد A داریم : \(P(A'|B) = 1 - P(A|B)\) .
الف
دو پیشامد \({A_1}\) و \({A_2}\) طبق فرض ناسازگار هستند در نتیجه دو پیشامد \({A_2} \cap B\,,\,{A_1} \cap B\) نیز سازگار هستند. زیرا :
\(({A_1} \cap B) \cap ({A_2} \cap B) = ({A_1} \cap {A_2}) \cap B = \emptyset \cap B = \emptyset \)
در نتیجه
\(P(({A_1} \cap B) \cup ({A_2} \cap B)) = P({A_1} \cap B) + P({A_2} \cap B)\)
بنابراین به اثبات حکم می پردازیم :
\(\begin{array}{l}P(({A_1} \cup {A_2})|B) = \frac{{P(({A_1} \cup {A_2}) \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{P(({A_1} \cap B) \cup ({A_2} \cap B))}}{{P(B)}} = \\\\\frac{{P({A_1} \cap B) + P({A_2} \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{P({A_1} \cap B)}}{{P(B)}} + \frac{{P({A_2} \cap B)}}{{P(B)}} = \\\\P({A_1}|B) + P({A_2}|B)\end{array}\)
ب
می دانیم A و \(A'\) دو پیشامد ناسازگار بوده و
\(P((A \cup A')|B) = P(S|B) = \frac{{P(S \cap B)}}{{P(B)}}\mathop \Rightarrow \limits^{B \subseteq S} \frac{{P(B)}}{{P(A)}} = 1\)
بنابراین با توجه به قسمت الف، به اثبات حکم می پردازیم.
\(\begin{array}{l}P((A \cup A')|B) = P(A|B) + P(A'|B)\\\\ \Rightarrow 1 = P(A|B) + P(A'|B)\\\\ \Rightarrow P(A'|B) = 1 - P(A|B)\end{array}\)
1736019749.png)
