شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
۱ در یک آزمایش تصادفی، \(S = \{ x,y,z\} \)فضای نمونهای است. اگر \(P(\{ x,y\} ) = \frac{2}{3}\) و \(P(\{ x,z\} ) = \frac{1}{2}\)، احتمال وقوع هریک از پیشامدهای ساده را به دست آورید.
حل:
با توجه به اینکه y , x و z همه اعضای فضای نمونهای هستند. بنابراین P(x) + P(y) + P(z) = 1. همچنین با توجه به فرض \(P(\{ x,y\} ) = \frac{2}{3}\)، پس \(P(x) + P(y) = \frac{2}{3}\)، بنابراین با توجه به تساوی بالا، \(P(z) = \frac{ \ldots }{ \ldots }\) .
از سوی دیگر، \(P(\{ x,z\} ) = \frac{1}{2}\)، پس \(P(x) + P(z) = \frac{1}{2}\). از قراردادن P(z) در این تساوی \(P(x) = \frac{ \ldots }{ \ldots }\) به دست میآید. اکنون این مقدار را در تساوی \(P(x) + P(y) = \frac{2}{3}\) قرار دهید و مقدار P(y) را به دست آورید: \(P(y) = \frac{ \ldots }{ \ldots }\) .
\(\begin{array}{l}P(z) = \frac{1}{3}\\\\P(x) = \frac{1}{6}\quad ,\quad P(y) = \frac{1}{2}\end{array}\)
2 یک تاس به گونهای ساخته شده که احتمال وقوع هر عدد زوج، سه برابر احتمال وقوع هر عدد فرد است. در پرتاب این تاس، احتمال اینکه یکی از اعداد 2 یا 3 مشاهده شود را بهدست آورید.
در این سؤال، P(a)=3P(b) که در آن a یک عدد زوج و b یک عدد فرد از 1 تا 6 هستند. بنابراین \(P(1) = P(3) = \ldots \) و همچنین \(P(2) = P(4) = \ldots \) . (چرا؟) حال اگر P(1)=x، سپس P(2)=3x . از رابطۀ زیر استفاده کرده و با جایگذاری احتمال پیشامدهای ساده برحسب x، مقدار x را بهدست آورید.
\(\begin{array}{l}P(S) = 1 \Rightarrow P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1\\\\ \Rightarrow x + 3x + \ldots + \ldots + \ldots + \ldots = 1\\\\ \Rightarrow x = \ldots \end{array}\)
اکنون با محاسبه P(2) و P(3) میتوانید \(P(\{ 2,3\} )\) را تعیین کنید.
\(P(\{ 2,3\} ) = \ldots + \ldots = \ldots \)
\(\begin{array}{l}P(1) = P(3) = P(5)\\\\P(2) = P(4) = P(6)\end{array}\)
طبق فرض، احتمال وقوع هر عدد زوج، سه برابر احتمال وقوع هر عدد فرد است. لذا زوج ها احتمال یکسان و فردها نیز احتمال برابر دارند.
\(\begin{array}{l}P(S) = 1 \Rightarrow P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1\\\\ \Rightarrow x + 3x + x + 3x + x + 3x = 1\\\\ \Rightarrow x = \frac{1}{{12}}\end{array}\)
\(P(2) = 3x = \frac{3}{{12}}\) و \(P(3) = x = \frac{1}{{12}}\) . در نتیجه:
\(P(\{ 2,3\} ) = \frac{3}{{12}} + \frac{1}{{12}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\)
1736019749.png)
