شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
فرض کنید سه صندوق سیب، از سه باغ شمالی، مرکزی و جنوبی داریم. در این باغها، به ترتیب، 10 درصد، 3 درصد و 5 درصد سیبها لکهدار اند. یکی از صندوقها را بهتصادف انتخاب میکنیم و نمیدانیم که صندوق انتخابی مربوط به کدام باغ است. سیبی را از آن صندوق خارج میکنیم و مشاهده میکنیم که لکهدار است. در این صورت، احتمال اینکه صندوق انتخابی مربوط به باغ شمالی باشد، چقدر است؟
برای حل این مسئله، این پیشامد را که سیب انتخابی لکهدار باشد با A و اینکه صندوق انتخابی مربوط به سه باغ شمالی، مرکزی و جنوبی باشد را بهترتیب با \({B_2}\,,\,{B_1}\) و \({B_3}\) نمایش دهید.
در صورت مسئله چه احتمالهایی مشخص شده است؟ آنها را مشخص میکنیم:
\(P({B_1}) = \ldots \,,\,P({B_2}) = \ldots \,,\,({B_3}) = \ldots \)
و
\(P(A|{B_1}) = \ldots \,,\,P(A|{B_2}) = \ldots \,,\,P(A|{B_3}) = \ldots \)
آنچه در مسئله از ما خواسته شده است \(P({B_1}|A)\) است. ابتدا P(A) را محاسبه میکنیم:
\(P(A) = P({B_1})P(A|{B_1}) + \ldots + \ldots \)
در نتیجه:
\(P({B_1}|A) = \frac{{P({B_1})P(A|{B_1})}}{{P(A)}} = \ldots \)
\(\begin{array}{l}P({B_1}) = \frac{1}{3}\,,\,P({B_2}) = \frac{1}{3}\,,\,P({B_3}) = \frac{1}{3}\\P(A|{B_1}) = \frac{{10}}{{100}}\,,\,P(A|{B_2}) = \frac{3}{{100}}\,,\,P(A|{B_3}) = \frac{5}{{100}}\\\\P(A) = P({B_1})P(A|{B_1}) + P({B_2})P(A|{B_2}) + P({B_3})P(A|{B_3}) = \frac{{10}}{{300}} + \frac{3}{{300}} + \frac{5}{{300}} = \frac{6}{{100}}\\\\P({B_1}|A) = \frac{{P({B_1})P(A|{B_1})}}{{P(A)}} = \frac{{\frac{1}{3} \times \frac{{10}}{{100}}}}{{\frac{6}{{100}}}} = \frac{5}{9}\end{array}\)
1736019749.png)
