شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
برقکاری نیاز به یک لامپ سالم دارد. دو جعبه داریم که در اولی و دومی، بهترتیب، ۵ و ۲۰ لامپ وجود دارد، ولی فقط برخی از این لامپها سالماند؛ در اولی سه لامپ و در دومی ۱۳ لامپ سالم است. او باید یکی از دو جعبه را انتخاب کند و از آن جعبه یک لامپ، بهتصادف، بردارد. به نظر شما، او بهتر است کدام جعبه را انتخاب کند؟
جواب این سؤال ساده است: در جعبهٔ اوّل ۶۰ درصد و در جعبهٔ دوم ...... درصد لامپها سالماند، پس بهتر است جعبهٔ ...... را انتخاب کند.
اکنون فرض کنید دو جعبه همان شرایط را دارند، ولی برقکار از آن جعبه، دو لامپ، بدون آزمایش، بردارد. به نظر شما، او بهتر است کدام جعبه را انتخاب کند؟
در این حالت، تصمیمگیری به سادگی حالت اوّل نیست.
۱ قسمت اول (جای خالی):
قسمت مورد نظر: «جواب این سؤال ساده است: در جعبهٔ اوّل ۶۰ درصد و در جعبهٔ دوم ...... درصد لامپها سالماند، پس بهتر است جعبهٔ ...... را انتخاب کند.»
پاسخ: برای یافتن درصد لامپهای سالم جعبه دوم، نسبت لامپهای سالم به کل لامپهای آن جعبه را حساب میکنیم:
\(\frac{13}{20} = \frac{65}{100} = 65\%\)
بنابراین در جای خالی اول عدد ۶۵ و در جای خالی دوم عبارت دوم قرار میگیرد. (در این حالت انتخاب یک لامپ، جعبه دوم شانس بیشتری دارد).
2 قسمت دوم (انتخاب دو لامپ):
قسمت مورد نظر: «اکنون فرض کنید دو جعبه همان شرایط را دارند، ولی برقکار از آن جعبه، دو لامپ، بدون آزمایش، بردارد. به نظر شما، او بهتر است کدام جعبه را انتخاب کند؟»
پاسخ: از آنجا که برقکار تنها به یک لامپ سالم نیاز دارد اما دو لامپ برمیدارد، باید احتمال اینکه در بین دو لامپ انتخابی «حداقل یک لامپ سالم» وجود داشته باشد را برای هر جعبه محاسبه کنیم. سادهترین راه، استفاده از پیشامد متمم (احتمال اینکه هر دو لامپ خراب باشند) است.
محاسبه برای جعبه اول:
در این جعبه ۵ لامپ داریم که ۳ تای آنها سالم و ۲ تای آنها خراب هستند.
\(P(\text{at least one good}) = 1 - P(\text{both defective})\)
\(P(\text{Box 1}) = 1 - \frac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 90\%\)
محاسبه برای جعبه دوم:
در این جعبه ۲۰ لامپ داریم که ۱۳ تای آنها سالم و ۷ تای آنها خراب هستند.
\(P(\text{Box 2}) = 1 - \frac{\binom{7}{2}}{\binom{20}{2}} = 1 - \frac{\frac{7 \times 6}{2}}{\frac{20 \times 19}{2}} = 1 - \frac{21}{190} = \frac{169}{190} \approx 88/94\%\)
نتیجهگیری:
با مقایسه دو احتمال بهدستآمده \((90\% > 88/94\%)\)، متوجه میشویم که در این حالت شانسِ داشتنِ حداقل یک لامپ سالم در جعبه اول بیشتر است. بنابراین، او بهتر است جعبه اول را انتخاب کند.
1736019749.png)
