جواب تمرین صفحه 48 درس 2 هندسه یازدهم (تبدیل های هندسی و کاربردها)

الف

1) در حالی که نقطه O روی خط AB قرار دارد و 0>k ، بدیهی است که نقاط A’ و B’ مجانس های نقاط A و B روی خط AB واقع می شوند؛ بنابراین A’B’ بر AB واقع است و شیب تغییر نمی کند.

2) در حالتی که نقطه O روی خط AB قرار ندارد و 0>k ، در این صورت اگر نقاط A’ و B’ به ترتیب مجانس های نقاط A و B باشند، طبق تعریف داریم:

\(\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}OA' = k.OA\\OB' = k.OB\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = k\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\quad \,\widehat {AOB} = \widehat {A'OB'}\end{array} \right\}\)

  \( \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \sim A'\mathop O\limits^\Delta B' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {OAB} = \widehat {OA'B'}\\\widehat {OBA} = \widehat {OB'A'}\end{array} \right.\) ق 2 تشابه مثلث

پس بنا بر عکس قضیه خطوط موازی، خط AB موازی با خط A’B’ است و شیب خط ها در صورت وجود با هم برابر است.

ب

زاویه ABC را در صفحه در نظر می گیریم:

1) اگر نقطه O روی رأس زاویه یعنی نقطه B باشد آنگاه مجانس زاویه یعنی زاویه A’B’C’ روی خود زاویه ABC منطبق می شود، پس اندازه آن حفظ می شود.

2) اگر نقطه O روی یکی از اضلاع باشد مانند شکل زیر آنگاه با توجه به قضیه، تجانس شیب خط را حفظ می کند، پس:

3) اگر نقطه O نه روی اضلاع و نه روی رأس زاویه باشد، مانند شکل زیر، با توجه به بند قبلی تجانس شیب خط را حفظ می کند؛ پس:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\frac{{{S_{A'}}}}{{{S_A}}} = {k^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow {S_{A'}} = \frac{4}{9}{S_A} \Rightarrow {S_{A'}} - \frac{4}{9}{S_A} = 0\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\end{array}\;\;{S_A} - {S_{A'}} = 5\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S_A} = 9\\{S_{A'}} = 4\end{array} \right.\\\\{S_A} = {a^2} = 9 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow {P_A} = 4a = 12\end{array}\)

\(\left. \begin{array}{l}\frac{{S'}}{S} = {k^2} = {(\frac{7}{4})^2} = \frac{{49}}{{16}} \Rightarrow S' = \frac{{49}}{{16}}S\\S = \frac{{1 \times 2}}{2} = 1\\A = S' - S = \frac{{49}}{{16}}S - S = \frac{{33}}{{16}}S\end{array} \right\} \Rightarrow A = \frac{{33}}{{16}}\)