شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
مسائل پیدا کردن کوتاهترین مسیر:
الف) هرون، ریاضی دانی است که به او دایرةالمعارف ریاضی و فیزیک لقب داده اند. او که در فاصلهٔ زمانی 250 تا 150 سال قبل از میلاد مسیح در مصر زندگی می کرد برای نخستین بار به کمک بازتاب، دستور پیدا کردن کوتاه ترین مسیر را در شرایطی خاص ارائه کرد.
او با این مسئله روبه رو شده بود که:
«مردی می خواهد برای برداشتن آب از خانه به ساحل رودخانه ای که لبهٔ مستقیمی دارد برود و بعد سطل آب را به اسطبل ببرد که در همان سمت رودخانه است. او از کدام نقطه از ساحل آب بردارد که مسافتی که در مجموع طی می کند، کمترین حالت ممکن باشد؟»
مسئله، پیدا کردن نقطهٔ M روی خط d است به گونه ای که AM+MB کمترین مقدار ممکن باشد.
هرون ابتدا بازتاب A را نسبت به خط پیدا کرد و آن را 'A نامید. خط فرضی A’B خط بازتاب را در نقطه ای مثل M قطع می کند. او مدعی شد که M جواب مسئله است و AM+MB کوتاه ترین مسیر ممکن است.
با هم دلیل ادعای هرون را بررسی می کنیم:
1- برای هر نقطهٔ دلخواه دیگری نظیر M1 داریم 'M1A=M1A (و به همین ترتیب AM=A’M)؛ چرا؟
زیرا با توجه به تعریف بازتاب خط d عمود منصف پاره خط AA’ است و نقاط M و M1 روی این خط هستند. بنا بر خاصیت عمود منصف AM=A’M و M1A=M1A’
2 در مثلث A’M1B داریم \(A'{M_1} + {M_1}B > A'B\)؛ چرا؟
از تساوی A’B=A’M+MB و (1) و (2) ادعای هرون را اثبات کنید.
بنا بر قضیه نامساوی مثلث، در هر مثلث مجموع دو ضلع از ضلع سوم بزرگتر است.
\(\begin{array}{l}A'B = A'M + MB\;\mathop \Rightarrow \limits^{A'M = AM} \;A'B = AM + MB\\\\\left. \begin{array}{l}A'B = AM + MB\\A'B < A'{M_1} + {M_1}B\end{array} \right\} \Rightarrow AM + MB < A'{M_1} + {M_1}B\end{array}\)
و چون نقطه M1 دلخواه بود، پس ادعای هرون اثبات می شود.
1736019749.png)
