جواب تمرین صفحه 54 درس 2 هندسه یازدهم (تبدیل های هندسی و کاربردها)

با توجه به شکل، واضح است که عرض رودخانه در طول مسیر ثابت در نظر گرفته شده است. پس یا از نقطه A یا از B روش هرون را برای پیدا کردن نقطه M اجرا می کنیم.

ابتدا روی خط l’’ پاره خط AB به طول 5 سانتی متر را مشخص می کنیم. خط l’ را تحت بردار BA انتقال می دهیم تا خط l₁ بدست آید. این خط، l را در نقطه ای مانند M قطع می کند. از نقطه M موازی خط l’’ ، خطی رسم می کنیم تا خط l’ را در نقطه N قطع کند. پاره خط MN جواب  مسئله است.

الف

A’ وسط BC و B’ وسط AC و C’ وسط AB قرار دارند. با توجه به خاصیت مرکز ثقل می دانیم که \(GA' = \frac{1}{2}GA\). همچنین نقطه G بین A و A’ ، پس نقطه A’ مجانس نقطه A به مرکز تجانس G و نسبت تجانس \(\frac{1}{2}\) است. همین مطلب در مورد B’ و C’ نیز صدق می کند.

ب

با توجه به خاصیت تجانس، مساحت مثلث A’B’C’ برابر \(\frac{1}{4}\) مساحت مثلث ABC است.

\(\begin{array}{l}AH = AB\,.\,\sin 45^\circ \\\\{S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}AH\,.\,BC = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{{\sqrt 2 }}{2} \times 4\sqrt 2 = 6\\\\S = 2 \times {S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = 12\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B{H_1} = BF\,.\,\sin 30^\circ \\\\{S_{B\mathop F\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}\,B{H_1}\,.\,FC = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{1}{2} \times 6 = 3\\\\C{H_2} = CD\,.\,\sin 60^\circ \\\\{S_{C\mathop D\limits^\Delta E}} = \frac{1}{2}C{H_2}\,.\,DE = \frac{1}{2} \times \sqrt 3 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times 2 = \frac{3}{2}\\\\S = 2\,({S_{B\mathop F\limits^\Delta C}} + {S_{C\mathop D\limits^\Delta E}}) = 2\,(3 + \frac{3}{2}) = 9\end{array}\)