شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
در این فعالیت ویژگی مهمی از سه میانهٔ مثلث را ثابت می کنید.
الف دو میانه AM و BN از \(\Delta ABC\) را رسم می کنیم. یکدیگر را در نقطهٔ O درون مثلث قطع می کنند. از M وسط ضلع BC خطی را موازی میانه BN رسم می کنیم تا ضلع AC را در F قطع کند. چرا F وسط NC است؟ N وسط ضلع AC است؛ بنابراین؛ AF = 3NF. چرا؟ در نتیجه، AM = 3GM. چرا؟
ب بنابراین، \(GM = \frac{1}{3}\;...\) و \(AG = \frac{2}{3}\;...\) و G بین A و M است؛ در نتیجه G تنها نقطه ای روی نیم خط AM است که \(AG = \frac{2}{3}AM\). مشابه آن ثابت می شود \(BG = \frac{2}{3}BN\). پس برای هر دو میانهٔ دلخواه نقطهٔ G با این ویژگی به دست می آید در نتیجه هر سه میانه در G همرس اند.
به روش دیگر، می توانید از M به N وصل کنید و از تشابه دو مثلث GMN و GAB استفاده کنید؛ چون AB = 2MN پس AG=2GM و BG=2GN . اکنون می توانید مانند روش قبلی ادامه دهید.
الف در مثلث BCN داریم :
در نتیجه F وسط NC می باشد .
\(\begin{array}{l}AN = NC = 2FN\\\\ \Rightarrow AF = AN + FN = 2FN + FN\\\\ \Rightarrow AF = 3FN\end{array}\)
در مثلث AMF داریم :
\(\begin{array}{l}MF\parallel GN\;\;\: \Rightarrow \;\;\:\frac{{AG}}{{GM}} = \frac{{AN}}{{NF}} = 2\\\\ \Rightarrow AG = 2GM \Rightarrow AM = 3GM\end{array}\)
ب
\( AG = \frac{2}{3}\;AM\,\,\,\; - \;\,\,GM = \frac{1}{3}\;AM\)
1736019749.png)
