جواب کاردرکلاس صفحه 68 درس 2 حسابان یازدهم (تابع)

پاسخ کوتاه

الف

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{D_f} = \mathbb{R}}\\{{D_g} = \mathbb{R}}\\{}\\\begin{array}{l}{D_{fog}} = \left\{ {x \in {D_g}\left| {g\left( x \right) \in {D_f}} \right.} \right\}\\ = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\left( {2x + 3} \right) \in \mathbb{R}} \right.} \right\} = \mathbb{R}\\\end{array}\\\begin{array}{l}fog\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {2x + 3} \right)\\ = {\left( {2x + 3} \right)^2} + 1 = 4{x^2} + 12x + 10\end{array}\\{}\\\begin{array}{l}{D_{gof}} = \left\{ {x \in {D_f}\left| {f\left( x \right) \in {D_g}} \right.} \right\}\\ = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + 1 \in \mathbb{R}} \right.} \right\} = \mathbb{R}\\\end{array}\\\begin{array}{l}gof\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {{x^2} + 1} \right)\\ = 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 3 = 2{x^2} + 5\end{array}\end{array}\)

ب

خیر، توابع \(fog\) و \(gof\) مساوی نیستند، زیرا ضابطه های آنها متفاوت است.

پاسخ کامل و تفصیلی

الف محاسبه دامنه و ضابطه \(fog\) و \(gof\)

قدم اول: تعیین دامنه توابع اولیه \(f\) و \(g\)

تابع \(f(x) = x^2 + 1\) یک تابع چندجمله ای است، بنابراین دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی است:

\(D_f = \mathbb{R}\)

تابع \(g(x) = 2x + 3\) نیز یک تابع چندجمله ای است، بنابراین دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی است:

\(D_g = \mathbb{R}\)

قدم دوم: محاسبه دامنه و ضابطه \(fog(x)\)

دامنه تابع \(fog\) با استفاده از تعریف زیر به دست می آید:

\(D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}\)

از آنجایی که \(D_g = \mathbb{R}\)، باید بررسی کنیم که به ازای چه مقادیری از \(x \in \mathbb{R}\)، مقدار \(g(x)\) در \(D_f = \mathbb{R}\) قرار می گیرد. چون \(g(x) = 2x + 3\) برای هر \(x\) حقیقی، یک عدد حقیقی تولید می کند، پس \(g(x) \in \mathbb{R}\) همیشه برقرار است.

\(D_{fog} = \{x \in \mathbb{R} \mid (2x+3) \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}\)

حال ضابطه \(fog(x)\) را محاسبه می کنیم:

\(\begin{array}{l} fog(x) = f(g(x)) \\ = f(2x+3) \\ = (2x+3)^2 + 1 \\ = ( (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 ) + 1 \\ = (4x^2 + 12x + 9) + 1 \\ = 4x^2 + 12x + 10 \end{array}\)

قدم سوم: محاسبه دامنه و ضابطه \(gof(x)\)

دامنه تابع \(gof\) با استفاده از تعریف زیر به دست می آید:

\(D_{gof} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}\)

از آنجایی که \(D_f = \mathbb{R}\)، باید بررسی کنیم که به ازای چه مقادیری از \(x \in \mathbb{R}\)، مقدار \(f(x)\) در \(D_g = \mathbb{R}\) قرار می گیرد. چون \(f(x) = x^2 + 1\) برای هر \(x\) حقیقی، یک عدد حقیقی تولید می کند، پس \(f(x) \in \mathbb{R}\) همیشه برقرار است.

\(D_{gof} = \{x \in \mathbb{R} \mid (x^2+1) \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}\)

حال ضابطه \(gof(x)\) را محاسبه می کنیم:

\(\begin{array}{l} gof(x) = g(f(x)) \\ = g(x^2+1) \\ = 2(x^2+1) + 3 \\ = 2x^2 + 2 + 3 \\ = 2x^2 + 5 \end{array}\)

ب بررسی تساوی \(fog\) و \(gof\)

دو تابع مساوی هستند اگر و تنها اگر دارای دو شرط زیر باشند:

1. دامنه های آنها یکسان باشد.
2. ضابطه های آنها به ازای هر مقدار در دامنه مشترک، یکسان باشد.

در مورد توابع \(fog\) و \(gof\):

• بررسی دامنه ها: همانطور که محاسبه شد، \(D_{fog} = \mathbb{R}\) و \(D_{gof} = \mathbb{R}\). پس دامنه های آنها یکسان است.
• بررسی ضابطه ها:
  ضابطه \(fog(x) = 4x^2 + 12x + 10\)
  ضابطه \(gof(x) = 2x^2 + 5\)
  برای اینکه ضابطه ها یکسان باشند، باید \(4x^2 + 12x + 10 = 2x^2 + 5\) برای تمام مقادیر \(x \in \mathbb{R}\) برقرار باشد.
  اگر \(x=0\) را در نظر بگیریم:
  \(fog(0) = 4(0)^2 + 12(0) + 10 = 10\)
  \(gof(0) = 2(0)^2 + 5 = 5\)
  از آنجا که \(fog(0) \neq gof(0)\) (یعنی \(10 \neq 5\))، ضابطه های دو تابع یکسان نیستند.

بنابراین، چون ضابطه های توابع \(fog\) و \(gof\) متفاوت هستند، این دو تابع با یکدیگر مساوی نیستند.