شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
اگر \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) و \(g(x) = 2x + 3\)
الف دامنه و ضابطه تابع های \(fog\) و \(gof\) را به دست آورید.
ب آیا تابع های \(gof\) و \(fog\) مساوی اند؟
پاسخ کوتاه
الف
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{D_f} = \mathbb{R}}\\{{D_g} = \mathbb{R}}\\{}\\\begin{array}{l}{D_{fog}} = \left\{ {x \in {D_g}\left| {g\left( x \right) \in {D_f}} \right.} \right\}\\ = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\left( {2x + 3} \right) \in \mathbb{R}} \right.} \right\} = \mathbb{R}\\\end{array}\\\begin{array}{l}fog\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {2x + 3} \right)\\ = {\left( {2x + 3} \right)^2} + 1 = 4{x^2} + 12x + 10\end{array}\\{}\\\begin{array}{l}{D_{gof}} = \left\{ {x \in {D_f}\left| {f\left( x \right) \in {D_g}} \right.} \right\}\\ = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + 1 \in \mathbb{R}} \right.} \right\} = \mathbb{R}\\\end{array}\\\begin{array}{l}gof\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {{x^2} + 1} \right)\\ = 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 3 = 2{x^2} + 5\end{array}\end{array}\)
ب
خیر، توابع \(fog\) و \(gof\) مساوی نیستند، زیرا ضابطه های آنها متفاوت است.
پاسخ کامل و تفصیلی
الف محاسبه دامنه و ضابطه \(fog\) و \(gof\)
قدم اول: تعیین دامنه توابع اولیه \(f\) و \(g\)
تابع \(f(x) = x^2 + 1\) یک تابع چندجمله ای است، بنابراین دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی است:
\(D_f = \mathbb{R}\)
تابع \(g(x) = 2x + 3\) نیز یک تابع چندجمله ای است، بنابراین دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی است:
\(D_g = \mathbb{R}\)
قدم دوم: محاسبه دامنه و ضابطه \(fog(x)\)
دامنه تابع \(fog\) با استفاده از تعریف زیر به دست می آید:
\(D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}\)
از آنجایی که \(D_g = \mathbb{R}\)، باید بررسی کنیم که به ازای چه مقادیری از \(x \in \mathbb{R}\)، مقدار \(g(x)\) در \(D_f = \mathbb{R}\) قرار می گیرد. چون \(g(x) = 2x + 3\) برای هر \(x\) حقیقی، یک عدد حقیقی تولید می کند، پس \(g(x) \in \mathbb{R}\) همیشه برقرار است.
\(D_{fog} = \{x \in \mathbb{R} \mid (2x+3) \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}\)
حال ضابطه \(fog(x)\) را محاسبه می کنیم:
\(\begin{array}{l} fog(x) = f(g(x)) \\ = f(2x+3) \\ = (2x+3)^2 + 1 \\ = ( (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 ) + 1 \\ = (4x^2 + 12x + 9) + 1 \\ = 4x^2 + 12x + 10 \end{array}\)
قدم سوم: محاسبه دامنه و ضابطه \(gof(x)\)
دامنه تابع \(gof\) با استفاده از تعریف زیر به دست می آید:
\(D_{gof} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}\)
از آنجایی که \(D_f = \mathbb{R}\)، باید بررسی کنیم که به ازای چه مقادیری از \(x \in \mathbb{R}\)، مقدار \(f(x)\) در \(D_g = \mathbb{R}\) قرار می گیرد. چون \(f(x) = x^2 + 1\) برای هر \(x\) حقیقی، یک عدد حقیقی تولید می کند، پس \(f(x) \in \mathbb{R}\) همیشه برقرار است.
\(D_{gof} = \{x \in \mathbb{R} \mid (x^2+1) \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}\)
حال ضابطه \(gof(x)\) را محاسبه می کنیم:
\(\begin{array}{l} gof(x) = g(f(x)) \\ = g(x^2+1) \\ = 2(x^2+1) + 3 \\ = 2x^2 + 2 + 3 \\ = 2x^2 + 5 \end{array}\)
ب بررسی تساوی \(fog\) و \(gof\)
دو تابع مساوی هستند اگر و تنها اگر دارای دو شرط زیر باشند:
در مورد توابع \(fog\) و \(gof\):
بنابراین، چون ضابطه های توابع \(fog\) و \(gof\) متفاوت هستند، این دو تابع با یکدیگر مساوی نیستند.
توضیحات تکمیلی
مفاهیم کلیدی در ترکیب توابع و بررسی تساوی آن ها
در این تمرین، با مفاهیم مهمی چون "ترکیب توابع"، "دامنه تابع مرکب" و "شرایط تساوی دو تابع" سر و کار داریم. این مفاهیم در حسابان یازدهم و مباحث بعدی ریاضیات کاربرد فراوانی دارند.
1. ترکیب توابع:
ترکیب دو تابع \(f\) و \(g\)، که به صورت \(fog\) یا \(gof\) نمایش داده می شود، به معنای اعمال پی در پی این توابع است.
2. دامنه تابع مرکب:
برای اینکه تابع مرکب \(fog(x)\) تعریف شود، دو شرط باید برقرار باشد:
بنابراین، \(D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}\). به طور مشابه برای \(gof\)، داریم \(D_{gof} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}\).
در این سوال، چون هر دو تابع \(f\) و \(g\) چندجمله ای هستند، دامنه هر دوی آنها و همچنین دامنه ترکیباتشان \(\mathbb{R}\) (مجموعه اعداد حقیقی) است، که محاسبه دامنه را ساده تر می کند. اما در مواردی که توابع کسری، رادیکالی یا لگاریتمی باشند، تعیین دامنه تابع مرکب نیاز به دقت بیشتری دارد.
3. محاسبه ضابطه تابع مرکب:
برای یافتن ضابطه \(fog(x)\)، ضابطه تابع \(g(x)\) را به جای هر \(x\) در ضابطه تابع \(f(x)\) قرار می دهیم. به عنوان مثال، \(f(g(x)) = (g(x))^2 + 1\) و سپس به جای \(g(x)\) ضابطه آن یعنی \(2x+3\) را قرار دادیم.
4. اتحاد مربع دوجمله ای:
در محاسبه \((2x+3)^2\) از اتحاد مربع دوجمله ای \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) استفاده شد، که یک ابزار جبری پرکاربرد است.
5. شرایط تساوی دو تابع:
همانطور که در پاسخ تفصیلی اشاره شد، دو تابع زمانی مساوی هستند که هم دامنه هایشان یکسان باشد و هم ضابطه هایشان به ازای تمام مقادیر دامنه مشترک، مقادیر یکسانی تولید کنند.
1745835339.png)
عدم خاصیت جابجایی در ترکیب توابع
یک نکته بسیار مهم که این تمرین به خوبی آن را نشان می دهد، این است که ترکیب توابع در حالت کلی خاصیت جابجایی ندارد. یعنی معمولاً \(fog(x) \neq gof(x)\). دانش آموزان باید این موضوع را به خاطر بسپارند و هر ترکیب را به طور جداگانه محاسبه کنند. تنها در موارد خاصی ممکن است این دو ترکیب برابر شوند (مثلاً اگر یکی از توابع، تابع همانی باشد یا دو تابع معکوس یکدیگر باشند و دامنه ها اجازه دهند).
اشتباهات رایج دانش آموزان:
نکته کنکوری:
مبحث ترکیب توابع و تشخیص برابری آنها از جمله سوالات متداول در آزمون های تستی و تشریحی است. تسلط بر محاسبه ضابطه و به ویژه دامنه توابع مرکب (خصوصاً برای توابع غیرچندجمله ای) اهمیت زیادی دارد. همچنین، توانایی ارائه مثال نقض برای نشان دادن عدم تساوی دو تابع (مانند محاسبه مقدار توابع در یک نقطه خاص) یک مهارت مفید است.
1736019749.png)
