جواب کاردرکلاس صفحه 68 درس 2 حسابان یازدهم (تابع)

پاسخ کوتاه

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{D_f} = \left\{ { - 2\:,\:2\:,\:3\:,\:11} \right\}}\\{{D_g} = \left\{ {2\:,\:3\:,\:4\:,\:6} \right\}}\\{}\\\begin{array}{l}{D_{fog}} = \left\{ {x \in {D_g}\left| {g\left( x \right) \in {D_f}} \right.} \right\}\\ = \left\{ {x \in \left\{ {2\:,\:3\:,\:4\:,\:6} \right\}\left| {g\left( x \right) \in \left\{ { - 2\:,\:2\:,\:3\:,\:11} \right\}} \right.} \right\}\\ = \left\{ {2\:,\:3\:,\:4\:,\:6} \right\}\\\end{array}\\{fog = \left\{ {\left( {2\:,\:7} \right)\:,\:\left( {3\:,\: - 5} \right)\:,\:\left( {4\:,\:4} \right)\:,\:\left( {6\:,\: - 5} \right)} \right\}}\\{}\\\begin{array}{l}{D_{gof}} = \left\{ {x \in {D_f}\left| {f\left( x \right) \in {D_g}} \right.} \right\} = \\\left\{ {x \in \left\{ { - 2\:,\:2\:,\:3\:,\:11} \right\}\left| {f\left( x \right) \in \left\{ {2\:,\:3\:,\:4\:,\:6} \right\}} \right.} \right\}\\ = \left\{ { - 2} \right\}\\\end{array}\\{gof\left( x \right) = \left\{ {\left( { - 2\:,\: - 2} \right)} \right\}}\end{array}\)

پاسخ کامل
برای حل این سوال، ابتدا دامنه و برد هر یک از توابع \(f\) و \(g\) را مشخص می کنیم و سپس به محاسبه ی دامنه ی توابع مرکب و خود توابع مرکب می پردازیم.

توابع اولیه و دامنه های آنها:

تابع \(f\) به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب داده شده است:

\(f = \left\{ {\left( {11,7} \right)\;,\;\left( { - 2,4} \right)\;,\;\left( {3, - 5} \right)\;,\;\left( {2, - 5} \right)} \right\}\)

دامنه ی تابع \(f\) (مجموعه ی مولفه های اول):

\(D_f = \{11, -2, 3, 2\}\)

برد تابع \(f\) (مجموعه ی مولفه های دوم):

\(R_f = \{7, 4, -5\}\)

تابع \(g\) نیز به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب داده شده است:

\(g = \left\{ {\left( {2,11} \right)\;,\;\left( {4, - 2} \right)\;,\;\left( {6,3} \right)\;,\;\left( {3,2} \right)} \right\}\)

دامنه ی تابع \(g\) (مجموعه ی مولفه های اول):

\(D_g = \{2, 4, 6, 3\}\)

برد تابع \(g\) (مجموعه ی مولفه های دوم):

\(R_g = \{11, -2, 3, 2\}\)

1. محاسبه ی دامنه ی \(D_{fog}\) و تابع \(fog\):

دامنه ی تابع مرکب \(fog\) از تعریف زیر به دست می آید:

\(D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}\)

به این معنی که \(x\) باید عضو دامنه ی \(g\) باشد و مقدار \(g(x)\) (یعنی خروجی تابع \(g\) برای آن \(x\)) باید عضو دامنه ی \(f\) باشد.

اعضای دامنه ی \(D_g = \{2, 3, 4, 6\}\) را یک به یک بررسی می کنیم:

• برای \(x=2\):
  \(g(2) = 11\).
  آیا \(11 \in D_f\)؟ بله، \(11 \in \{11, -2, 3, 2\}\).
  پس \(x=2\) عضو \(D_{fog}\) است.
  مقدار تابع مرکب: \((fog)(2) = f(g(2)) = f(11) = 7\).
• برای \(x=3\):
  \(g(3) = 2\).
  آیا \(2 \in D_f\)؟ بله، \(2 \in \{11, -2, 3, 2\}\).
  پس \(x=3\) عضو \(D_{fog}\) است.
  مقدار تابع مرکب: \((fog)(3) = f(g(3)) = f(2) = -5\).
• برای \(x=4\):
  \(g(4) = -2\).
  آیا \(-2 \in D_f\)؟ بله، \(-2 \in \{11, -2, 3, 2\}\).
  پس \(x=4\) عضو \(D_{fog}\) است.
  مقدار تابع مرکب: \((fog)(4) = f(g(4)) = f(-2) = 4\).
• برای \(x=6\):
  \(g(6) = 3\).
  آیا \(3 \in D_f\)؟ بله، \(3 \in \{11, -2, 3, 2\}\).
  پس \(x=6\) عضو \(D_{fog}\) است.
  مقدار تابع مرکب: \((fog)(6) = f(g(6)) = f(3) = -5\).

بنابراین، دامنه ی تابع \(fog\) برابر است با:

\(D_{fog} = \{2, 3, 4, 6\}\)

و تابع \(fog\) به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب زیر است:

\(fog = \left\{ {\left( {2,7} \right)\;,\;\left( {3, -5} \right)\;,\;\left( {4,4} \right)\;,\;\left( {6, -5} \right)} \right\}\)

2. محاسبه ی دامنه ی \(D_{gof}\) و تابع \(gof\):

دامنه ی تابع مرکب \(gof\) از تعریف زیر به دست می آید:

\(D_{gof} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}\)

به این معنی که \(x\) باید عضو دامنه ی \(f\) باشد و مقدار \(f(x)\) (یعنی خروجی تابع \(f\) برای آن \(x\)) باید عضو دامنه ی \(g\) باشد.

اعضای دامنه ی \(D_f = \{11, -2, 3, 2\}\) را یک به یک بررسی می کنیم:

• برای \(x=11\):
  \(f(11) = 7\).
  آیا \(7 \in D_g\)؟ خیر، \(7 \notin \{2, 3, 4, 6\}\).
  پس \(x=11\) عضو \(D_{gof}\) نیست.
• برای \(x=-2\):
  \(f(-2) = 4\).
  آیا \(4 \in D_g\)؟ بله، \(4 \in \{2, 3, 4, 6\}\).
  پس \(x=-2\) عضو \(D_{gof}\) است.
  مقدار تابع مرکب: \((gof)(-2) = g(f(-2)) = g(4) = -2\).
• برای \(x=3\):
  \(f(3) = -5\).
  آیا \(-5 \in D_g\)؟ خیر، \(-5 \notin \{2, 3, 4, 6\}\).
  پس \(x=3\) عضو \(D_{gof}\) نیست.
• برای \(x=2\):
  \(f(2) = -5\).
  آیا \(-5 \in D_g\)؟ خیر، \(-5 \notin \{2, 3, 4, 6\}\).
  پس \(x=2\) عضو \(D_{gof}\) نیست.

بنابراین، دامنه ی تابع \(gof\) برابر است با:

\(D_{gof} = \{-2\}\)

و تابع \(gof\) به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب زیر است:

\(gof = \left\{ {\left( {-2, -2} \right)} \right\}\)