شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
اگر \(f = \left\{ {\left( {11,7} \right)\;,\;\left( { - 2,4} \right)\;,\;\left( {3, - 5} \right)\;,\;\left( {2, - 5} \right)} \right\}\) و \(g = \left\{ {\left( {2,11} \right)\;,\;\left( {4, - 2} \right)\;,\;\left( {6,3} \right)\;,\;\left( {3,2} \right)} \right\}\) ، ابتدا \(D_{fog}\) و \(D_{gof}\) و سپس توابع \(fog\) و \(gof\) را محاسبه کنید.
پاسخ کوتاه
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{D_f} = \left\{ { - 2\:,\:2\:,\:3\:,\:11} \right\}}\\{{D_g} = \left\{ {2\:,\:3\:,\:4\:,\:6} \right\}}\\{}\\\begin{array}{l}{D_{fog}} = \left\{ {x \in {D_g}\left| {g\left( x \right) \in {D_f}} \right.} \right\}\\ = \left\{ {x \in \left\{ {2\:,\:3\:,\:4\:,\:6} \right\}\left| {g\left( x \right) \in \left\{ { - 2\:,\:2\:,\:3\:,\:11} \right\}} \right.} \right\}\\ = \left\{ {2\:,\:3\:,\:4\:,\:6} \right\}\\\end{array}\\{fog = \left\{ {\left( {2\:,\:7} \right)\:,\:\left( {3\:,\: - 5} \right)\:,\:\left( {4\:,\:4} \right)\:,\:\left( {6\:,\: - 5} \right)} \right\}}\\{}\\\begin{array}{l}{D_{gof}} = \left\{ {x \in {D_f}\left| {f\left( x \right) \in {D_g}} \right.} \right\} = \\\left\{ {x \in \left\{ { - 2\:,\:2\:,\:3\:,\:11} \right\}\left| {f\left( x \right) \in \left\{ {2\:,\:3\:,\:4\:,\:6} \right\}} \right.} \right\}\\ = \left\{ { - 2} \right\}\\\end{array}\\{gof\left( x \right) = \left\{ {\left( { - 2\:,\: - 2} \right)} \right\}}\end{array}\)
پاسخ کامل
برای حل این سوال، ابتدا دامنه و برد هر یک از توابع \(f\) و \(g\) را مشخص می کنیم و سپس به محاسبه ی دامنه ی توابع مرکب و خود توابع مرکب می پردازیم.
توابع اولیه و دامنه های آنها:
تابع \(f\) به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب داده شده است:
\(f = \left\{ {\left( {11,7} \right)\;,\;\left( { - 2,4} \right)\;,\;\left( {3, - 5} \right)\;,\;\left( {2, - 5} \right)} \right\}\)
دامنه ی تابع \(f\) (مجموعه ی مولفه های اول):
\(D_f = \{11, -2, 3, 2\}\)
برد تابع \(f\) (مجموعه ی مولفه های دوم):
\(R_f = \{7, 4, -5\}\)
تابع \(g\) نیز به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب داده شده است:
\(g = \left\{ {\left( {2,11} \right)\;,\;\left( {4, - 2} \right)\;,\;\left( {6,3} \right)\;,\;\left( {3,2} \right)} \right\}\)
دامنه ی تابع \(g\) (مجموعه ی مولفه های اول):
\(D_g = \{2, 4, 6, 3\}\)
برد تابع \(g\) (مجموعه ی مولفه های دوم):
\(R_g = \{11, -2, 3, 2\}\)
1. محاسبه ی دامنه ی \(D_{fog}\) و تابع \(fog\):
دامنه ی تابع مرکب \(fog\) از تعریف زیر به دست می آید:
\(D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}\)
به این معنی که \(x\) باید عضو دامنه ی \(g\) باشد و مقدار \(g(x)\) (یعنی خروجی تابع \(g\) برای آن \(x\)) باید عضو دامنه ی \(f\) باشد.
اعضای دامنه ی \(D_g = \{2, 3, 4, 6\}\) را یک به یک بررسی می کنیم:
بنابراین، دامنه ی تابع \(fog\) برابر است با:
\(D_{fog} = \{2, 3, 4, 6\}\)
و تابع \(fog\) به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب زیر است:
\(fog = \left\{ {\left( {2,7} \right)\;,\;\left( {3, -5} \right)\;,\;\left( {4,4} \right)\;,\;\left( {6, -5} \right)} \right\}\)
2. محاسبه ی دامنه ی \(D_{gof}\) و تابع \(gof\):
دامنه ی تابع مرکب \(gof\) از تعریف زیر به دست می آید:
\(D_{gof} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}\)
به این معنی که \(x\) باید عضو دامنه ی \(f\) باشد و مقدار \(f(x)\) (یعنی خروجی تابع \(f\) برای آن \(x\)) باید عضو دامنه ی \(g\) باشد.
اعضای دامنه ی \(D_f = \{11, -2, 3, 2\}\) را یک به یک بررسی می کنیم:
بنابراین، دامنه ی تابع \(gof\) برابر است با:
\(D_{gof} = \{-2\}\)
و تابع \(gof\) به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب زیر است:
\(gof = \left\{ {\left( {-2, -2} \right)} \right\}\)
توضیحات تکمیلی
درک عمیق ترکیب توابع و دامنه ی آن ها
ترکیب توابع یکی از مفاهیم بنیادین در حسابان است که به ما اجازه می دهد توابع پیچیده تری از ترکیب توابع ساده تر بسازیم. وقتی دو تابع \(f\) و \(g\) را با هم ترکیب می کنیم، خروجی یک تابع به عنوان ورودی تابع دیگر عمل می کند.
محاسبه ی \(fog\):
محاسبه ی \(gof\):
1745835339.png)
نکته کنکوری:
سوالات مربوط به ترکیب توابع، به ویژه تعیین دامنه ی تابع مرکب، از بخش های مهم و پرتکرار در آزمون ها هستند. تسلط بر تعریف دامنه ی تابع مرکب و توانایی بررسی دقیق شرایط آن برای توابع با ضابطه یا توابع به صورت زوج مرتب، کلیدی است. در توابع زوج مرتب، می توان از نمایش تصویری (پیکانی) برای درک بهتر نحوه ی اتصال خروجی یک تابع به ورودی تابع دیگر استفاده کرد.
1736019749.png)
